Question

4．如圖所示，光滑桿O′A的O′端固定一根勁度系數為k=10N/m，原長為l₀=1m的輕彈簧，質量為m=1kg的小球套在光滑桿上并與彈簧的上端連接，OO′為過O點的豎直軸，桿與水平面間的夾角始終為θ=30°，開始桿是靜止的，當桿以OO′為軸轉動時，角速度從零開始緩慢增加，直至彈簧伸長量為0.5m，下列說法正確的是（　　）

• A． 桿保持靜止狀態(tài)，彈簧的長度為0.5m
• B． 當彈簧恢復原長時，桿轉動的角速度為$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$rad/s
• C． 當彈簧伸長量為0.5m時，桿轉動的角速度為$\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$rad/s
• D． 在此過程中，桿對小球做功為15J

Answer 1

分析 當桿靜止時，小球受力平衡，根據力的平衡條件可求壓縮量，從而求彈簧的長度；
對小球分析，抓住豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，列式聯立求出勻速轉動的角速度；
結合最高點的動能，運用動能定理求出桿對小球做功的大�。�

解答 解：A、當桿靜止時，小球受力平衡，根據力的平衡條件可得：mgsin30°=kx，代入數據解得：x=0.5m，所以彈簧的長度為：l₁=l₀-x=0.5m，故A正確；
B、當彈簧恢復原長時，由牛頓第二定律可得：mgtan30°=mω₁²l₀cos30°，解得：ω₁=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$ rad/s，故B錯誤；
C、當彈簧伸長量為0.5m時，小球受力如圖示：

水平方向上：F₂cos30°+Nsin30°=mω₂²（l₀+x）cos30°
豎直方向上：Ncos30°=mg+F₂sin30°
彈簧的彈力為：F₂=kx
聯立解得：ω₂=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$rad/s，故C正確；
D、在此過程中，由動能定理可得：W-mg•2xsin30°=$\frac{1}{2}$m[ω₂（l₀+x）cos30°]²-0，解得：W=12.5J，故D錯誤．
故選：AC．

點評 本題考查了動能定理、牛頓第二定律、胡克定律與圓周運動的綜合，知道小球做勻速轉動時，靠徑向的合力提供向心力，并結合豎直方向上的合力為零，聯立求解．