Question

13．如圖所示，在磁感應強度大小為B、方向垂直向上的勻強磁場中，有一上、下兩層均與水平面平行的“U”型光滑金屬導軌，在導軌面上各放一根完全相同的質(zhì)量為m的勻質(zhì)金屬桿A₁和A₂，開始時兩根金屬桿位于同一豎起面內(nèi)且桿與軌道垂直．設兩導軌面相距為H，導軌寬為L，導軌足夠長且電阻不計，金屬桿單位長度的電阻為r．現(xiàn)有一質(zhì)量為 m₂的不帶電小球以水平向右的速度v₀撞擊桿A₁的中點，撞擊后小球反彈后做平拋運動落到下層面上的C點．C點與桿A₁初始位置的水平距離為S．求：
（1）回路內(nèi)感應電流的最大值；
（2）當桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時，A₂受到的安培力大�。�
（3）整個運動過程中感應電流最多產(chǎn)生了多少熱量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運動規(guī)律、動量守恒定律和閉合電路的歐姆定律求解電流最大值；
（2）金屬桿A₁、A₂兩桿在同一個金屬U形導軌上都做變速運動，運動方向相同（都向右），同一時刻兩桿都切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，兩個感應電動勢在空間中的方向相同（都向外），但兩個感應電動勢在回路中的方向相反，所以總電動勢是這兩個電動勢之差，即E=BL（v₁-v₂），根據(jù)閉合電路的歐姆定律求解感應電流，根據(jù)安培力計算公式計算安培力大��；
（3）根據(jù)能量守恒定律和動量守恒定律聯(lián)立求解產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）設撞擊后小球反彈的速度為v₁，金屬桿A₁的速度為v₀₁，根據(jù)動量守恒定律，$\frac{1}{2}$mv₀=$\frac{1}{2}$m（-v₁）+mv₀₁，①
根據(jù)平拋運動的分解，有：
水平方向：s=v₁t，
豎直方向：H=$\frac{1}{2}$gt²
解得v₁=s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$     ②
②代入①得v₀₁=$\frac{1}{2}$（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）      ③
回路內(nèi)感應電動勢的最大值為E_m=BLv₀₁，電阻為R=2Lr，
所以回路內(nèi)感應電流的最大值為I_m=$\frac{B（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）}{4r}$．        
（2）設金屬桿A₁、A₂速度大小分別為v₁、v₂，根據(jù)動量守恒定律可得：mv₀₁=mv₁+mv₂，
又$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{3}{1}$，所以v₁=$\frac{3}{4}$v₀₁，v₂=$\frac{1}{4}$v₀₁．
金屬桿A₁、A₂速度方向都向右，根據(jù)右手定則判斷A₁、A₂產(chǎn)生的感應電動勢在回路中方向相反，
所以感應電動勢為E=BL（v₁-v₂），
根據(jù)閉合電路的歐姆定律可得電流為I=$\frac{E}{2Lr}$，
安培力為F=BIL，
所以A₂受到的安培力大小為F=$\frac{{B}^{2}L}{8r}（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）$．
當然A₁受到的安培力大小也如此，只不過方向相反．
（3）因為在安培力的作用下，金屬桿A₁做減速運動，金屬桿A₂做加速運動，當兩桿速度大小相等時，回路內(nèi)感應電流為0，
根據(jù)能量守恒定律可得，$\frac{1}{2}$mv₀₁²=Q+$\frac{1}{2}$•2mv²   
其中v是兩桿速度大小相等時的速度，根據(jù)動量守恒定律，
mv₀₁=2mv，所以v=$\frac{1}{2}$v₀₁，
解得：Q=$\frac{1}{16}$m（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）²．
答：（1）回路內(nèi)感應電流的最大值為$\frac{B（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）}{4r}$；
（2）當桿A₂與桿A₁的速度比為1：3時，A₂受到的安培力大小為$\frac{{B}^{2}L}{8r}（{v}_{0}+s\sqrt{\frac{g}{2H}}）$；
（3）整個運動過程中感應電流最多產(chǎn)生的熱量為$\frac{1}{16}$m（v₀+s$\sqrt{\frac{g}{2H}}$）²．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據(jù)平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉(zhuǎn)化問題，根據(jù)動能定理、功能關系等列方程求解．