Question

15．如圖所示，傾角為θ的斜面上PQ部分粗糙，且長(zhǎng)為3L，其余部分都光滑．形狀相同、質(zhì)量分布均勻的三塊薄木板A、B、C沿斜面排列在一起，但不粘接．每塊薄木板長(zhǎng)均為L(zhǎng)，質(zhì)量均為m，與斜面PQ間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為2tanθ．將它們從P上方某處由靜止釋放，三塊薄木板均能通過(guò)Q．重力加速度為g．求：
（1）薄木板A上端到達(dá)P時(shí)受到B的彈力；
（2）薄木板A在PQ段運(yùn)動(dòng)速度最大時(shí)的位置；
（3）釋放木板時(shí)，薄木板A下端離P距離滿(mǎn)足的條件．

Answer 1

分析 （1）對(duì)三個(gè)薄木板整體運(yùn)用用牛頓第二定律求出整體的加速度，再隔離A，由牛頓第二定律求B對(duì)A的作用力．
（2）薄木板A在PP′、QQ′間運(yùn)動(dòng)時(shí)，將三塊薄木板看成整體，當(dāng)它們下滑到下滑力等于摩擦力時(shí)運(yùn)動(dòng)速度達(dá)最大值，由此列式求解滑塊A的下端離P處的距離．
（3）要使三個(gè)薄木板都能滑出QQ′處，薄木板C中點(diǎn)過(guò)QQ′處時(shí)它的速度應(yīng)大于零．薄木板C全部越過(guò)PP′前，三木板是相互擠壓著，全部在PP′、QQ′之間運(yùn)動(dòng)無(wú)相互作用力，離開(kāi)QQ′時(shí)，三木板是相互分離的．分段由動(dòng)能定理列式求解．

解答 解：（1）對(duì)三個(gè)薄木板整體用牛頓第二定律有：
3mgsinθ-μmgcosθ=3ma
得到：a=$\frac{1}{3}$gsinθ
對(duì)A薄木板用牛頓第二定律有：F+mgsinθ-μmgcosθ=ma
則得：F=$\frac{4}{3}$mgsinθ

（2）薄木板A在PP′、QQ′間運(yùn)動(dòng)時(shí)，將三塊薄木板看成整體，當(dāng)它們下滑到下滑力等于摩擦力時(shí)運(yùn)動(dòng)速度達(dá)最大值，則有：
μm_xgcosθ=3mgsinθ
得到：${m}_{x}=\frac{3}{2}m$
即滑塊A的下端離P處1.5L處時(shí)的速度最大；
（3）要使三個(gè)薄木板都能滑出QQ′處，薄木板C中點(diǎn)過(guò)QQ′處時(shí)它的速度應(yīng)大于零．
薄木板C全部越過(guò)PP′前，三木板是相互擠壓著，全部在PP′、QQ′之間運(yùn)動(dòng)無(wú)相互作用力，離開(kāi)QQ′時(shí)，三木板是相互分離的．             
設(shè)C木板剛好全部越過(guò)PP′時(shí)速度為v．
①對(duì)木板C用動(dòng)能定理有：mgsinθ×$\frac{5}{2}L$$-（μmgcosθ×2L+\frac{3}{4}μmgcosθ×\frac{1}{2}L）$=0-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：$v=\sqrt{4.5gLsinθ}$；
②設(shè)開(kāi)始下滑時(shí)，A的下端離PP′處距離為x，對(duì)三木板整體用動(dòng)能定理有：
3mgsinθ×（3L+x）-μ×$\frac{3}{2}mgcosθ×3L$=$\frac{1}{2}×3m{v}^{2}$-0
得到：x=2.25L                                    
即釋放時(shí)，A下端離PP′距離為：x＞2.25L．
答：（1）薄木板A上端到達(dá)P時(shí)受到B的彈力為$\frac{4}{3}$mgsinθ；
（2）滑塊A的下端離P處1.5L處時(shí)的速度最大；
（3）釋放木板時(shí)，薄木板A下端離P距離滿(mǎn)足的條件是：釋放時(shí)，A下端離PP′距離x＞2.25L．

點(diǎn)評(píng) 本題首先要正確分析木板的受力情況，判斷其運(yùn)動(dòng)情況，采用整體法和隔離法結(jié)合求木板間的彈力是比較慣用的方法．運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，要求同學(xué)們能選取合適的過(guò)程．