Question

10．如圖所示，一個(gè)半徑R=1.0m的圓弧形光滑軌道固定在豎直平面內(nèi)，軌道的一個(gè)端點(diǎn)B和圓心O的連線與豎直方向夾角θ=60°，C為軌道最低點(diǎn)，D為軌道最高點(diǎn)．一個(gè)質(zhì)量m=0.50kg的小球（視為質(zhì)點(diǎn)）從空中A點(diǎn)以v₀=4.0m/s的速度水平拋出，恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道．重力加速度g取10m/s²．試求：
（1）小球拋出點(diǎn)A距圓弧軌道B端的高度h．
（2）小球經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力F_C．
（3）OE⊥OB，若對(duì)小球平拋的初始位置和初速度大小適當(dāng)調(diào)整，要使小球在B點(diǎn)還是沿切線方向進(jìn)入圓形軌道，并能到達(dá)圓形軌道的E點(diǎn)，試求拋出點(diǎn)距圓弧軌道B端的高度h的最小值？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道，說(shuō)明小球的末速度應(yīng)該沿著B(niǎo)點(diǎn)切線方向，再由圓的半徑和角度的關(guān)系，可以求出B點(diǎn)切線的方向，即平拋末速度的方向，從而可以求得豎直方向分速度，再求h．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得C點(diǎn)的速度，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求得壓力F_C．
（3）小球恰能到達(dá)圓形軌道的E點(diǎn)時(shí)，由重力的徑向分力提供向心力，由牛頓第二定律求出E點(diǎn)的最小速度，再由機(jī)械能守恒求h的最小值．
設(shè)小球能到達(dá)D點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律求得D點(diǎn)速度，再運(yùn)用牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求解

解答 解：（1）小球恰好從軌道的B端沿切線方向進(jìn)入軌道，說(shuō)明小球平拋運(yùn)動(dòng)的末速度應(yīng)該沿著B(niǎo)點(diǎn)切線方向
將平拋的末速度進(jìn)行分解，根據(jù)幾何關(guān)系得：
B點(diǎn)速度在豎直方向的分量：v_y=v₀tan60°=4$\sqrt{3}$m/s                       
豎直方向的分運(yùn)動(dòng)為自由落體運(yùn)動(dòng)，則 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{48}{20}$m=2.4m                    
（2）從A到C，由機(jī)械能守恒定律，有
$\frac{1}{2}$m${v}_{C}^{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+mg（h+R-Rcosθ）
得v_C²=74m²/s²     
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律，有F′_C-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得F′_C=42N               
根據(jù)牛頓第三定律，F(xiàn)_C=F′_C=42N，方向豎直向下．
（3）若小球恰能到達(dá)圓形軌道的E點(diǎn)時(shí)，有 mgcos30°=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
根據(jù)機(jī)械能守恒得：
  $\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$+mg（h-Rsinθ-Rcosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{E}^{2}$
要保證小球在B點(diǎn)還是沿切線方向進(jìn)入圓形軌道，必須有：v_y=v₀tan60°，h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=$\frac{（{v}_{0}tan60°）^{2}}{2g}$
聯(lián)立以上三式解得：h=$\frac{9\sqrt{3}+6}{16}$m
答：
（1）小球拋出點(diǎn)A距圓弧軌道B端的高度h是2.4m．
（2）小球經(jīng)過(guò)軌道最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力是42N，方向豎直向下．
（3）拋出點(diǎn)距圓弧軌道B端的高度h的最小值是$\frac{9\sqrt{3}+6}{16}$m．

點(diǎn)評(píng) 恰能無(wú)碰撞地沿圓弧切線從B點(diǎn)進(jìn)入光滑豎直圓弧軌道，這是解這道題的關(guān)鍵，理解了這句話就可以求得小球的末速度，本題很好的把平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合在一起運(yùn)用機(jī)械能守恒解決．