Question

11．我國已按計劃實施“嫦娥工程”，“嫦娥一號”、“嫦娥二號”和“嫦娥三號”已成功發(fā)射，月球車已成功降落月球表面，進行科學研究．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，月球繞地球的運動近似看做勻速圓周運動，請求出月球繞地球運動的軌道半徑r；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個小球，經(jīng)過時間t，小球落回拋出點．已知月球半徑為r_月，引力常量為G，請求出月球的質量M_月（用已知量表示）．

Answer 1

分析 （1）月球繞地球做勻速圓周運動，由萬有引力提供向心力，列出方程．在地球表面上，物體的重力等于萬有引力，列出方程，聯(lián)立可解．
（2）根據(jù)豎直上拋運動的規(guī)律求出月球表面的重力加速度，根據(jù)萬有引力等于重力，可求解月球的質量M_月．

解答 解：（1）根據(jù)萬有引力定律和向心力公式有：
   G$\frac{{M}_{月}M}{{r}^{2}}$=${M}_{月}（\frac{2π}{T}）^{2}$r
質量為m的物體在地球表面時：
   mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得 r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）設月球表面處的重力加速度為g_月，根據(jù)豎直上拋運動規(guī)律有：
   v₀=$\frac{{v}_{月}t}{2}$
質量為m′的物體在月球表面時有：
  m′g_月=G$\frac{{M}_{月}m′}{{r}_{月}^{2}}$
解得 M_月=$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$
答：（1）月球繞地球運動的軌道半徑r是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
（2）月球的質量M_月是$\frac{2{v}_{0}{r}_{月}^{2}}{Gt}$．

點評 在星球表面萬有引力近似等于重力，這個關系對于解決天體運動問題非常重要，一定要理解并掌握．