Question

17．如圖所示，一半徑為R的光滑半圓柱水平懸空放置，C為圓柱最高點(diǎn)，兩小球P、Q用一輕質(zhì)細(xì)線懸掛在半圓柱上，水平擋板AB及兩小球開始時(shí)位置均與半圓柱的圓心在同一水平線上，水平擋板AB與半圓柱間有一小孔能讓小球通過，兩小球質(zhì)量分別為m_P=m，m_Q=4m，水平擋板到水平面EF的距離為h=2R，現(xiàn)讓兩小球從圖示位置由靜止釋放，當(dāng)小球P到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)剪斷細(xì)線，小球Q與水平面EF碰撞后等速反向被彈回，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，取π≈3．求：
（1）小球P到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)的速率v_C；
（2）小球P落到擋板AB上時(shí)的速率v₁；
（3）小球Q反彈后能上升的最大高度h_max．

Answer 1

分析 （1）把AB兩球看成一個(gè)整體，在運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒定律即可求解．
（2）小球P經(jīng)過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，由機(jī)械能守恒即可求出；
（3）剪斷細(xì)繩后Q在運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，由此即可求出．

解答 解：（1）半圓半徑是R，因?yàn)樾∏駻要運(yùn)動(dòng)到C．所以A的豎直方向的位移為R，B的位移就要等于A到C的弧長(zhǎng)．小球A升至最高點(diǎn)C時(shí)兩球的速度，且只有重力做功，
以初始位置為0勢(shì)能面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
0+0=$\frac{1}{2}（m+4m）{v}_{C}^{2}+mgR-4mg\frac{2πR}{4}$
解得：${v}_{C}=\sqrt{\frac{4πg(shù)R-2gR}{5}}$≈$\sqrt{2gR}$
（2）小球P經(jīng)過C點(diǎn)后的運(yùn)動(dòng)過程中只有重力做功，由機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
整理得：${v}_{1}=2\sqrt{gR}$
（3）剪斷細(xì)繩后Q在運(yùn)動(dòng)的過程中機(jī)械能守恒，設(shè)Q還能上升h′，則：
$\frac{1}{2}•4m{v}_{C}^{2}=4mgh′$
Q上升的最大高度：h_max=h-$\frac{2πR}{4}$+h′
整理得：h_max=1.5R
答：（1）小球P到達(dá)最高點(diǎn)C時(shí)的速率是$\sqrt{2gR}$；
（2）小球P落到擋板AB上時(shí)的速率是$2\sqrt{gR}$；
（3）小球Q反彈后能上升的最大高度是1.5R．

點(diǎn)評(píng) 本題涉三個(gè)不同的過程，都考查了機(jī)械能守恒定律的直接應(yīng)用．其中后兩問比較簡(jiǎn)單，第一問要注意在開始時(shí)的運(yùn)動(dòng)過程中AB兩球運(yùn)動(dòng)的位移不一樣．