Question

11．已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，引力常量為G，
（1）求地球的平均密度ρ；
（2）假設(shè)“神舟七號”飛船進(jìn)入預(yù)定軌道后繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行的周期是T，求飛船繞地球飛行時離地面的高度h．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力提供向心力求解中心天體（地球）的質(zhì)量．
根據(jù)萬有引力等于重力列出等式，聯(lián)立求解．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，對于在地面處質(zhì)量為m的物體有：
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg   ①
又因為：ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$       ②
由①②兩式解得：ρ=$\frac{3g}{4πGR}$   
（2）設(shè)飛船的質(zhì)量為m′，則：$\frac{GMm′}{{（R+h）}^{2}}$=m′$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）  ③
由①③兩式解得：h=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R     
答：（1）地球的平均密度是$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$；
（2）假設(shè)“神舟七號”飛船進(jìn)入預(yù)定軌道后繞地球做勻速圓周運(yùn)動，運(yùn)行的周期是T，飛船繞地球飛行時離地面的高度是$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力等于重力和萬有引力提供向心力這兩個理論，并能靈活運(yùn)用．