Question

2．一透明立方體邊長為L=4m，上表面有不透明薄膜，薄膜中心O有一點(diǎn)狀光源，已知介質(zhì)折射率為$\sqrt{5}$．求其它面上不經(jīng)過反射就 能直接透光的區(qū)域的總面積．

Answer 1

分析 根據(jù)折射定律求出全反射的臨界角，能直接透光的區(qū)域光線不發(fā)生全反射，結(jié)合幾何關(guān)系求解面積．

解答 解：設(shè)光線發(fā)生全反射的臨界角為θ，由折射定律得：
   $\frac{sinθ}{sin90°}$=$\frac{1}{n}$
如圖所示，底面上能不發(fā)生全反射的區(qū)域是以D點(diǎn)為圓心，以CD為半徑的圓形區(qū)域．
 sin∠COD=sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\overline{CD}$=L•tan∠COD=2m
所以底面上透光面積 S₁=$π{\overline{CD}}^{2}$=4π （m²）
側(cè)面上不會(huì)直接全反射的為半圓區(qū)域，半徑為AB，同樣有 sin∠AOB=sinθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
則 $\overline{AB}$=$\frac{1}{2}$tan∠AOB=1m
所以側(cè)面上透光面積為  S₂=4×$\frac{1}{2}π×{\overline{AB}}^{2}$=2π（ m²）
故不經(jīng)過反射就 能直接透光的區(qū)域的總面積為 S=S₁+S₂=6π（ m²）
答：不經(jīng)過反射就能直接透光的區(qū)域的總面積為6πm²．

點(diǎn)評 本題考查幾何光學(xué)問題，對數(shù)學(xué)的能力要求較高，掌握臨界角與折射率的關(guān)系．