Question

6．如圖，水平直線軌道OB與豎直的四分之一光滑圓弧軌道AB相切于B點(diǎn)，O為圓心，半徑R=1m，A點(diǎn)與O點(diǎn)等高，勁度系數(shù)k=10³N/m的輕彈簧一端固定在D點(diǎn)擋板處，另一端為自由端在C點(diǎn)．BC=0.9m，將質(zhì)量m=1kg的小物塊從A點(diǎn)靜止釋放，觀察到物塊反彈回來后剛好到達(dá)B點(diǎn)．已知物塊水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，g=10m/s²．

（1）求出彈簧的最大壓縮量及物塊在水平軌道上運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度數(shù)值a；
（2）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點(diǎn)釋放后，求彈簧被壓縮的最大彈性勢(shì)能E_p及物塊第一次返回圓弧軌道上B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊支持力大小F_N；
（3）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點(diǎn)正上方h=5m高處釋放落下，并從A點(diǎn)切入軌道，求物塊最終的靜止位置離C點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)全程，運(yùn)用功能關(guān)系列式，可求得物塊相對(duì)B向左滑動(dòng)的距離s，即可得到彈簧的最大壓縮量．當(dāng)彈簧的壓縮量最大，物塊的加速度最大，由牛頓第二定律求及物塊在水平軌道上運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度數(shù)值a；
（2）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點(diǎn)釋放后，根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求彈簧被壓縮的最大彈性勢(shì)能E_p．求出物塊第一次返回圓弧軌道上B點(diǎn)時(shí)的速度，由牛頓第二定律求軌道對(duì)物塊支持力大小F_N；
（3）若將DC段換成光滑的水平軌道，物塊從A點(diǎn)正上方h=5m高處釋放落下，對(duì)整個(gè)過程，運(yùn)用功能關(guān)系列式，可求得物塊最終的靜止位置離C點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）設(shè)物塊相對(duì)B點(diǎn)向左滑動(dòng)的最大距離為s，全程由功能關(guān)系得：
-2μmgs=0-mgR
解得：s=1m
彈簧的最大壓縮量為：△x=s-$\overline{BC}$=1-0.9=0.1m
向左滑行剛要速度減為零時(shí)加速度最大，設(shè)為a，根據(jù)牛頓第二定律得：
k△x+μmg=ma
解得：a=105m/s²．
（2）由功能關(guān)系得：
-μmg$\overline{BC}$=E_p-mgR
解得，彈簧被壓縮的最大彈性勢(shì)能為：E_p=5.5J
返回B點(diǎn)的速度為v_B．由動(dòng)能定理得：
mgR-2μmg$\overline{BC}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：F_N=12N
（3）設(shè)物塊在BC段總路程為x，對(duì)整個(gè)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理得：
mg（h+R）-μmgx=0
解得：x=12m=13×0.9m+0.3m
所以物塊最終位置在C右側(cè)距C點(diǎn)0.3m處
答：（1）彈簧的最大壓縮量是0.1m，物塊在水平軌道上運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度數(shù)值a是105m/s²；
（2）彈簧被壓縮的最大彈性勢(shì)能E_p是5.5J，物塊第一次返回圓弧軌道上B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)物塊支持力大小F_N是12N；
（3）物塊最終位置在C右側(cè)距C點(diǎn)0.3m處．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及力在空間的效果，要優(yōu)先功能關(guān)系或動(dòng)能定理，要知道滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)，要正確分析能量的轉(zhuǎn)化情況．