Question

9．如圖甲所示，空間存在B=0.5T，方向豎直向下的勻強磁場，MN、PQ是相互平行的粗糙的長直導軌，處于同一水平面內，其間距L=0.2m，R是連在導軌一端的電阻，ab是跨接在導軌上質量m=0.1kg的導體棒，從零時刻開始，通過一小型電動機對ab棒施加一個牽引力F，方向水平向左，使其從靜止開始沿導軌做直線運動，此過程中棒始終保持與導軌垂直且接觸良好，圖乙是棒的速度-時間圖象，其中OA段是直線，AC段是曲線，DE是曲線圖象的漸近線，小型電動機在12s末達到額定功率P=4.5W，此后功率保持不變，除R以外，其余部分的電阻均不計，g=10m/s²
（1）求導體棒在0～12s內的加速度大小；
（2）求導體棒與導軌間的動摩擦因數μ及電阻R的阻值；
（3）若t=17s時，導體棒ab達最大速度，且0～17s內共發(fā)生位移100m，試求12～17s內R上產生的熱量Q以及通過R的電荷量q．

Answer 1

分析 （1）導體棒在0-12s內做勻加速運動，由圖象的斜率求解加速度．
（2）乙圖中A點：由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL推導出安培力的表達式，由牛頓第二定律得到含μ和R的表達式；圖中C點：導體棒做勻速運動，由平衡條件再得到含μ和R的表達式，聯立求出μ和R．
（3）由圖象的“面積”求出0-12s內導體棒發(fā)生的位移，0-17s內共發(fā)生位移100m，求出AC段過程發(fā)生的位移，由能量守恒定律求解12-17s內R上產生的熱量，再由q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{△∅}{R}$，求解電量大小．

解答 解：（1）由圖中可得12s末的速度為：v₁=9m/s，t₁=12s
導體棒在0.12s內的加速度大小為：a=$\frac{{v}_{1}-0}{{t}_{1}}$=0.75m/s²．
（2）設金屬棒與導軌間的動摩擦因數為μ．當金屬棒的速度為v時，安培力大小為F，則有：
F=BIL，
I=$\frac{BLv}{R}$
得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$
A點：由牛頓第二定律得：F₁-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{1}}{R}$=ma₁
又P_額=F₁v₁．
C點：棒達到最大速度，則此時加速度為零，依據牛頓第二定律，則有：
F₂-μmg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$=0
P_額=F₂v_m．
聯立解得：μ=0.2，R=0.4Ω
（3）0-12s內導體棒發(fā)生的位移為：s₁=$\frac{1}{2}$×9×12m=54m，
AC段過程棒發(fā)生的位移為：s₂=100-s₁=46m
由能量守恒得：P_額t=Q_R+μmgs₂+（$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$-$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$）
代入數據解得：Q_R=12.35J
再依據電量綜合表達式為：q=$\overline{I}$t=$\frac{\overline{E}}{R}t$=$\frac{△∅}{R}$，
代入數據解得：q=11.5C；
 答：（1）導體棒在0～12s內的加速度大小0.75m/s²；
（2）導體棒與導軌間的動摩擦因數0.2及電阻R的阻值0.4Ω；
（3）在12～17s內R上產生的熱量12.35J以及通過R的電荷量11.5C．

點評 本題與力學中汽車勻加速起動類似，關鍵要推導安培力的表達式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$，根據平衡條件、牛頓第二定律和能量守恒結合進行求解，同時掌握電量的綜合表達式的內容．