Question

5．如圖所示，在0≤x≤$\sqrt{3}$a、0≤y≤a的長方形區(qū)域由垂直于xoy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，坐標(biāo)原點(diǎn)O處由一粒子源，在某時(shí)刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子（重力不計(jì)），其速度方向均在xoy平面內(nèi)的第一象限，且與y軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)，速度大小不同，且滿足$\frac{2qBa}{m}$≤v≤$\frac{3qBa}{m}$，已知粒子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則下列說法正確的是（　�。�

• A． 最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{12}$
• B． 最先從磁場上邊界飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間小于$\frac{T}{12}$
• C． 最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間為$\frac{T}{6}$
• D． 最后從磁場中飛出的粒子經(jīng)歷的時(shí)間小于$\frac{T}{6}$

Answer 1

分析 由于帶電粒子是以不同速度（大小和方向均不同）從坐標(biāo)原點(diǎn)射入磁場，所以其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不同，可以由洛侖茲力提供向心力求得最大的半徑和最小的半徑，顯然向著y軸正方向射出的粒子以最大的半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，偏轉(zhuǎn)角越小，時(shí)間越短．至于最長的時(shí)間要根據(jù)粒子的半徑與磁場邊界的幾何關(guān)系來確定，有兩種情況可以肯定：①以最小半徑且與上邊界相切的可能打在右邊界上，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何關(guān)系求出偏轉(zhuǎn)角．②以最小半徑最后打在下邊界上的粒子，根據(jù)對稱性也容易求出偏轉(zhuǎn)角．以上兩種情況對比，從而可以求得最長時(shí)間．

解答 解：帶電粒子粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
從而求得半徑為：r=$\frac{mv}{qB}$，
將題設(shè)條件代入得：r_min=2a，r_max=3a，
而帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為：T=$\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$．
A、B  顯然沿y軸正方向以最大速度射出的粒子最先射出磁場區(qū)域，如圖所示，偏轉(zhuǎn)角${α}_{min}=arcsin\frac{a}{3a}=arcsin\frac{1}{3}＜\frac{π}{6}$，最短時(shí)間小于$\frac{1}{12}T$．所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確．
C、D   在磁場中運(yùn)動(dòng)最長時(shí)間的帶電粒子是以最小速度從O出發(fā)與上邊界相切最后從右邊界穿出，如圖所示，由幾何關(guān)系可以求出偏轉(zhuǎn)角．由于O2A=a，所以∠OO₂A=60°，
OA=2asin60°=$\sqrt{3}a$，即恰與上邊界的端點(diǎn)射出（只是題圖有問題）所以此種情況最大偏轉(zhuǎn)角α_max=60°．還有
一種情況是以最小速度射出后從下邊界即x軸射出，如圖所示，此種情況
的偏轉(zhuǎn)角$α=2arcsin\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{2a}＜60°$，所以最大偏轉(zhuǎn)角取60°則運(yùn)動(dòng)的最長時(shí)間為$\frac{T}{6}$，
所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：BC

點(diǎn)評 本題的靚點(diǎn)在于最長時(shí)間和最短時(shí)間的確定：①半徑越大，彎曲程度越大，在其他條件相同的情況下，偏轉(zhuǎn)角越小，時(shí)間越短．②計(jì)算過程中要考慮軌跡與磁場邊界的幾何關(guān)系，由于題圖的幾何關(guān)系不協(xié)調(diào)，影響了思維．③以最小半徑運(yùn)動(dòng)的粒子與上邊界相切時(shí)，要求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，才能判斷與右邊界的幾何關(guān)系．