Question

3．如圖所示，豎直固定放置的粗糙斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD在B點(diǎn)相切，圓弧軌道的半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，C點(diǎn)為圓弧軌道最低點(diǎn)，∠COB=θ=30°．現(xiàn)使一質(zhì)量為m的小物塊從D點(diǎn)無(wú)初速度地釋放，小物塊與粗糙斜面AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＜tanθ，則關(guān)于小物塊的運(yùn)動(dòng)情況，下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 小物塊可能運(yùn)動(dòng)到A
• B． 小物塊經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間后會(huì)停在C點(diǎn)
• C． 小物塊通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)，對(duì)C點(diǎn)的最大壓力大小為2mg
• D． 小物塊通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)C時(shí)，對(duì)C點(diǎn)的最小壓力大小為（3-$\sqrt{3}$）mg

Answer 1

分析 由幾何知識(shí)得知，斜面的傾角等于30°．物體從A點(diǎn)無(wú)初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能不斷減小，到達(dá)的最大高度越來(lái)越小，最終在BE圓弧上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．
當(dāng)物體第一次經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，速度最大，對(duì)C點(diǎn)的壓力最大，當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)速度最小，物體對(duì)C點(diǎn)的壓力最小，根據(jù)動(dòng)能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解最大壓力和最小壓力．

解答 解：AB、物體從D點(diǎn)無(wú)初速度滑下后，由于在AB段要克服摩擦力做功，所以物體在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)機(jī)械能不斷減小，在斜面上升的最大高度越來(lái)越小，不可能運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，最終在BE圓弧上來(lái)回運(yùn)動(dòng)，不會(huì)停在C點(diǎn)．故A、B錯(cuò)誤．
C、物塊第一次運(yùn)動(dòng)到C時(shí)速度最大，對(duì)軌道的壓力最大．物塊從D第一次運(yùn)動(dòng)到C過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
    mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²
設(shè)此時(shí)軌道對(duì)物體的支持力F₁，由牛頓第二定律得：
  F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$聯(lián)立解得：F₁=3mg，由牛頓第三定律知物塊對(duì)C點(diǎn)的最大壓力為3mg．故C錯(cuò)誤．
D、當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)物體經(jīng)過(guò)C點(diǎn)的速度為v₂，由動(dòng)能定理得：
    mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv₂²
設(shè)軌道對(duì)物體的支持力F₂，由牛頓第二定律得：
   F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F₂=3mg-2mgcosθ=（3-$\sqrt{3}$）mg
由牛頓第三定律可知，物體對(duì)C點(diǎn)的最小壓力為（3-$\sqrt{3}$）mg．故D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題是動(dòng)能定理與牛頓運(yùn)動(dòng)定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，明確C點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的向心力的來(lái)源為合外力．