Question

有人設(shè)想:可以在飛船從運(yùn)行軌道進(jìn)入返回地球程序時(shí)，借飛船需要減速的機(jī)會(huì)，發(fā)射一個(gè)小型太空探測器，從而達(dá)到節(jié)能的目的。如圖所示，飛船在圓軌道Ⅰ上繞地球飛行，其軌道半徑為地球半徑的k倍（k>1）。當(dāng)飛船通過軌道Ⅰ的A點(diǎn)時(shí)，飛船上的發(fā)射裝置短暫工作，將探測器沿飛船原運(yùn)動(dòng)方向射出，并使探測器恰能完全脫離地球的引力范圍，即到達(dá)距地球無限遠(yuǎn)時(shí)的速度恰好為零，而飛船在發(fā)射探測器后沿橢圓軌道Ⅱ向前運(yùn)動(dòng)，其近地點(diǎn)B到地心的距離近似為地球半徑R。以上過程中飛船和探測器的質(zhì)量均可視為不變。已知地球表面的重力加速度為g。

（1）求飛船在軌道Ⅰ運(yùn)動(dòng)的速度大��；

（2）若規(guī)定兩質(zhì)點(diǎn)相距無限遠(yuǎn)時(shí)引力勢能為零，則質(zhì)量分別為M、m的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相距為r時(shí)的引力勢能，式中G為引力常量。在飛船沿軌道Ⅰ和軌道Ⅱ的運(yùn)動(dòng)過程，其動(dòng)能和引力勢能之和保持不變；探測器被射出后的運(yùn)動(dòng)過程中，其動(dòng)能和引力勢能之和也保持不變。

①求探測器剛離開飛船時(shí)的速度大��；

②已知飛船沿軌道Ⅱ運(yùn)動(dòng)過程中，通過A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小與這兩點(diǎn)到地心的距離成反比。根據(jù)計(jì)算結(jié)果說明為實(shí)現(xiàn)上述飛船和探測器的運(yùn)動(dòng)過程，飛船與探測器的質(zhì)量之比應(yīng)滿足什么條件。

Answer 1

（1）；（2）① ②

【解析】

試題分析：（1）設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，探測器質(zhì)量為m'，當(dāng)飛船與探測器一起繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v0

根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有

對于地面附近的質(zhì)量為m0的物體有 m0g=GMm0/R2

解得：

（2）①設(shè)探測器被發(fā)射出時(shí)的速度為v'，因其運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能和引力勢能之和保持不變，所以探測器剛好脫離地球引力應(yīng)滿足

解得 ：

②設(shè)發(fā)射探測器后飛船在A點(diǎn)的速度為vA,運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的速度為vB, 因其運(yùn)動(dòng)過程中動(dòng)能和引力勢能之和保持不變，所以有

對于飛船發(fā)射探測器的過程，根據(jù)動(dòng)量守恒定律有 （m+ m'）v0=mvA+ m'v'

因飛船通過A點(diǎn)與B點(diǎn)的速度大小與這兩點(diǎn)到地心的距離成反比，即RvB=kRvA

解得：

考點(diǎn)：萬有引力定律；動(dòng)量守恒定律；能量守恒定律。