Question

4．一位同學(xué)的家住在一座25層的高樓內(nèi)，他每天乘電梯上樓，隨著所學(xué)物理知識的增多，有一天他突然想到，能否用所學(xué)物理知識較為準(zhǔn)確地測出這座樓的高度呢？在以后的一段時間內(nèi)他進(jìn)行了多次實驗測量，步驟如下：
經(jīng)過多次仔細(xì)觀察和反復(fù)測量，他發(fā)現(xiàn)電梯啟動后的運動速度符合如圖所示的規(guī)律，他就根據(jù)這一特點在電梯內(nèi)用臺秤、重物和停表測量這座樓房的高度．他將臺秤放在電梯內(nèi)，將重物放在臺秤的托盤上，電梯從第一層開始啟動，經(jīng)過不間斷的運行，最后停在最高層．在整個過程中，他記錄了臺秤中不同時間段內(nèi)的示數(shù)，記錄的數(shù)據(jù)如表所示．但由于0～3.0s段的時間太短，他沒有來得及將臺秤的示數(shù)記錄下來，假設(shè)在每個時間段內(nèi)臺秤的示數(shù)都是穩(wěn)定的，重力加速度g取10m/s²．
（1）電梯在0～3.0s時間段內(nèi)臺秤的示數(shù)應(yīng)該是多少？
（2）根據(jù)測量的數(shù)據(jù)計算該樓房每一層的平均高度．

時間/s	電梯啟動前	0～3.0	3.0～13.0	13.0～19.0	19.0以后
臺秤示數(shù)/kg	5.0		5.0	4.6	5.0

Answer 1

分析 以物體為研究對象，靜止時示數(shù)為其重力，加速時為超重：F-mg=ma，減速時為失重：mg-F=ma（F為示數(shù)）由此求解．

解答 解：（1）電梯啟動前，臺秤時數(shù)為5.0kg，則物體重力：G=50N，由于表中各段時間內(nèi)臺秤的示數(shù)恒定，所以在時間${t}_{1}^{\;}$（0～3.0s）內(nèi)，物體做勻加速運動，在時間${t}_{2}^{\;}$（3．s～13.0s）內(nèi)物體做勻速直線運動，在時間${t}_{3}^{\;}$（13.0s～19.0s）內(nèi)物體做勻減速直線運動，19.0s末速度減為零．
在13.0s～19.0s內(nèi)，物體所受的支持力為：${F}_{N3}^{\;}=46N$，根
據(jù)牛頓第二定律有：$mg-{F}_{N3}^{\;}=m{a}_{3}^{\;}$
得在時間${t}_{3}^{\;}$內(nèi)物體的加速度為：${a}_{3}^{\;}=\frac{mg-{F}_{N3}^{\;}}{m}=0.8m/{s}_{\;}^{2}$
13.0s末物體的速度為：${v}_{2}^{\;}={a}_{3}^{\;}{t}_{3}^{\;}=4.8m/s$
而由于電梯在13.0s末的速度與3.0s末的速度相同，因此根據(jù)勻變速運動規(guī)律
物體在0～3.0s內(nèi)的加速度為：${a}_{1}^{\;}=1.6m/{s}_{\;}^{2}$
根據(jù)牛頓第二定律有：${F}_{N1}^{\;}-mg=m{a}_{1}^{\;}$
代入數(shù)據(jù)解得：${F}_{N1}^{\;}=58N$，即臺秤的示數(shù)為5.8kg
（2）0～3.0s內(nèi)物體的位移為：${x}_{1}^{\;}=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1.6×{3}_{\;}^{2}=7.2m$
3.0s～13.0s內(nèi)物體的位移為：${x}_{2}^{\;}={v}_{2}^{\;}{t}_{2}^{\;}=48m$
13.0s～19.0s內(nèi)物體的位移為：${x}_{3}^{\;}=\frac{v}{2}{t}_{3}^{\;}=\frac{4.8}{2}×6=14.4m$
則電梯上升的總高度，實際為24層的總高度為：$x={x}_{1}^{\;}+{x}_{2}^{\;}+{x}_{3}^{\;}=69.6m$
平均每層樓高為：h=2.9m
答：（1）電梯在0～3.0s時間段內(nèi)臺秤的示數(shù)應(yīng)該是5.8kg
（2）根據(jù)測量的數(shù)據(jù)計算該樓房每一層的平均高度是2.9m

點評 明確超重時示數(shù)增加，失重時示數(shù)小于重力，對于物體的重力不會發(fā)生變化，由牛頓第二定律列方程可求．