Question

8．宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠，通�？珊雎云渌�星體對四星系統(tǒng)的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，其運動周期為T₁，如圖（1）所示．另一種形式是有三顆星位于等邊三角形的三個項點上，第四顆星剛好位于三角形的中心不動，三顆星沿等邊三角形的半徑為a的外接圓的圓形軌道運行，其運動周期為T₂，如圖（2）所示．試求兩種形式下，星體運動的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$？

Answer 1

分析 明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，
根據(jù)F合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星體勻速圓周運動的周期．

解答 解：對于第一種形式：
星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，其軌道半徑半徑r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
由萬有引力定律和向心力公式得：$\frac{G{m}^{2}}{2{a}^{2}}+2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$cos45°=m${r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：T₁=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
對三繞一模式，三顆繞行星軌道半徑均為a，由幾何關(guān)系得三角形的邊長為$\sqrt{3}a$，即r₂=$\sqrt{3}$a，由所受合力等于向心力得
$\frac{{2Gm}^{2}}{3{a}^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}a$
解得T₂=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$
故：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$
答：星體運動的周期之比為$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$．

點評 知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．
萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進行正確受力分析．