Question

8．宇宙中存在由質(zhì)量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠(yuǎn)，通�？珊雎云渌�星體對(duì)四星系統(tǒng)的引力作用．已觀測(cè)到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長(zhǎng)為a的正方形的四個(gè)頂點(diǎn)上，均圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為T₁，如圖（1）所示．另一種形式是有三顆星位于等邊三角形的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)上，第四顆星剛好位于三角形的中心不動(dòng)，三顆星沿等邊三角形的半徑為a的外接圓的圓形軌道運(yùn)行，其運(yùn)動(dòng)周期為T₂，如圖（2）所示．試求兩種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的周期之比$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$？

Answer 1

分析 明確研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象受力分析，找到做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力的來源．
在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，
根據(jù)F合=mr（$\frac{2π}{T}$）²，求出星體勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期．

解答 解：對(duì)于第一種形式：
星體在其他三個(gè)星體的萬(wàn)有引力作用下圍繞正方形對(duì)角線的交點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑半徑r₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$
由萬(wàn)有引力定律和向心力公式得：$\frac{G{m}^{2}}{2{a}^{2}}+2\frac{G{m}^{2}}{{a}^{2}}$cos45°=m${r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{1}}^{2}}$
解得：T₁=2πa$\sqrt{\frac{2a}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
對(duì)三繞一模式，三顆繞行星軌道半徑均為a，由幾何關(guān)系得三角形的邊長(zhǎng)為$\sqrt{3}a$，即r₂=$\sqrt{3}$a，由所受合力等于向心力得
$\frac{{2Gm}^{2}}{3{a}^{2}}cos30°+G\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{{T}_{2}}^{2}}a$
解得T₂=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{（3-\sqrt{3}）{a}^{3}}{2Gm}}$
故：$\frac{{T}_{1}}{{T}_{2}}$=$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$
答：星體運(yùn)動(dòng)的周期之比為$\frac{\sqrt{21（4-\sqrt{2}）（3+\sqrt{3}）}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對(duì)它的合力提供圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．
萬(wàn)有引力定律和牛頓第二定律是力學(xué)的重點(diǎn)，在本題中有些同學(xué)找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進(jìn)行正確受力分析．