Question

19．如圖所示，質(zhì)量為m的U型金屬框P′PNN′，靜止在傾角為θ=37°的粗糙絕緣斜面上，與斜面間的動摩擦因數(shù)為μ=0.5，且最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．PP′、NN′邊相互平行，相距L，電阻不計(jì)且足夠長；上邊PN垂直于PP′，電阻為R．光滑導(dǎo)體棒ab質(zhì)量也為m，電阻不計(jì)，橫放在框架上，整個(gè)裝置處于垂直斜面向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中．將ab棒從靜止釋放，當(dāng)ab發(fā)生的位移為x₀時(shí)，框架開始向下運(yùn)動．已知導(dǎo)體棒ab與PP′、NN′始終接觸良好，重力加速度為g，取sin37°=0.6，求：
（1）框架開始運(yùn)動時(shí)導(dǎo)體棒ab的速率；
（2）框架開始運(yùn)動前R釋放的熱量；
（3）框架開始運(yùn)動后，通過導(dǎo)體PN電流的最大值．

Answer 1

分析 （1）先分析金屬框開始時(shí)是否靜止；設(shè)ab棒的速度為v時(shí)金屬框開始運(yùn)動，由法拉第電磁感應(yīng)定律以及閉合電路的歐姆定律求出電路中的電流，然后對金屬框進(jìn)行受力分析，求出ab的速度；
（2）由功能關(guān)系即可求出框架開始運(yùn)動前R釋放的熱量；
（3）框架開始運(yùn)動后，由牛頓第二定律分析ab與金屬框的最大速度差，并求出通過導(dǎo)體PN電流的最大值．

解答 解：（1）開始時(shí)對金屬框進(jìn)行受力分析可知，在垂直于斜面的方向上有：
F_N=mgcos37°+mgcos37°=1.6mg
沿斜面的方向金屬框受到的最大靜摩擦力為：
f=μ•F_N=0.5×1.6mg=0.8mg＞mgsin37°=0.6mg
所以開始時(shí)金屬框靜止，設(shè)ab棒的速度為v時(shí)金屬框開始運(yùn)動，由法拉第電磁感應(yīng)定律可得：E=BLv
電路中的電流為：I=$\frac{E}{R}=\frac{BLv}{R}$
根據(jù)右手定則可知，ab向下運(yùn)動的過程中，ab中電流的方向?yàn)閎流向a，由左手定則可知，PN邊受到的安培力的方向沿斜面向下，所以金屬框開始運(yùn)動時(shí)沿斜面方向的受力：BIL+mgsin37°=f
代入數(shù)據(jù)聯(lián)立得：v=$\frac{mgR}{5{B}^{2}{L}^{2}}$
（2）金屬框向下運(yùn)動前ab棒減小的重力勢能轉(zhuǎn)化為ab棒的動能和焦耳熱，所以得：
$mgsin37°=Q+\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：Q=$0.6mg{x}_{0}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{50{B}^{4}{L}^{4}}$
（3）ab棒與金屬框都向下運(yùn)動時(shí)，設(shè)它們的受到分別為v₁和v₂，電動勢為E′，電流為I′，ab棒與PN棒受到的安培力都是F_安；則：
E′=BL（v₁-v₂）
$I′=\frac{E′}{R}$
${F}_{安}=\frac{{B}^{2}{L}^{2}（{v}_{1}-{v}_{2}）}{R}$
對金屬棒ab：mgsin37°-F_安=ma₁
對金屬框：F_安+mgsin37°-f=ma₂
由于安培力的作用，a₁逐漸減小，而a₂逐漸增大，當(dāng)a₁=a₂時(shí)，v₁-v₂達(dá)到最大并且保持不變，此時(shí)電路中的電流最大并且保持不變，設(shè)為I_m，則：
mgsin37°-BI_mL=BI_mL+mgsinθ-f
聯(lián)立得：I_m=$\frac{2mg}{5BL}$
答：（1）框架開始運(yùn)動時(shí)導(dǎo)體棒ab的速率是$\frac{mgR}{5{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）框架開始運(yùn)動前R釋放的熱量是$0.6mg{x}_{0}-\frac{{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{50{B}^{4}{L}^{4}}$；
（3）框架開始運(yùn)動后，通過導(dǎo)體PN電流的最大值是$\frac{2mg}{5BL}$．

點(diǎn)評 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，電磁與力聯(lián)系橋梁是安培力，這種類問題關(guān)鍵在于安培力的分析和計(jì)算．