Question

7．質(zhì)量未知的小球在豎直向上、大小為F的力作用下，豎直向上做勻速直線運動，速度大小為v₀．運動至位置A時，力突然增大到某值（方向仍向上），持續(xù)一段時間t后，力變?yōu)樨Q直向下，但仍保持某值大小不變，再持續(xù)同樣一段時間后，小球運動到B點．重力加速度大小為g，不計其他阻力．
（1）小球運動到B點時的速度；
（2）①求增大后力的大��；（已知不加外力時，小球以初速度v₀做豎直上拋運動的最大高度恰好等于B、A兩點間距離的兩倍）；②為保證后來的力比原來的大，試給出相應的t和v₀應滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）分析小球的運動過程，小球先向上做勻速直線運動，到達A處后因力突然增大而開始做勻加速直線運動，經(jīng)過t后力突然反向，小球開始做勻減速直線運動，并可能在速度減為零后做反向的勻加速直線運動．對力增大后的兩個過程分別列出牛頓第二定律方程，即可求得兩個過程中的加速度，而t又是一個已知量，那么直接使用運動學公式即可求出小球運動到B點時的速度v_B的大�。�
（2）因為小球最后可能做反向的勻加速直線運動，因此我們不能確定B點的位置究竟在A點上方還是A點下方，故需要分為兩種情況討論．對其中每一種情況，根據(jù)運動學公式列出方程，并與豎直上拋的方程進行聯(lián)立，即可分別求得兩種情況下的場強E₂的大��；而根據(jù)題意，為求出t₁與v₀滿足的條件，只需要使E₂＞E₁即可，那么就可以最終求得t₁與v₀間的關(guān)系式．

解答 解：（1）設小球的質(zhì)量為m，增大后的力為F′，根據(jù)題中條件可以判斷力F與重力方向相反；
對于勻速運動階段，有 F=mg…①
對于力突然增大后的第一段t時間，由牛頓第二定律得：F′-mg=ma₁…②
對于力變?yōu)樨Q直向下的時間t內(nèi)，由牛頓第二定律得：F′+mg=ma₂ …③
由運動學公式，可得油滴在電場反向時的速度為：v₁=v₀+a₁t ④
油滴在B的速度為：v_B=v-a₂t ⑤
聯(lián)立①至⑤式，可得：v_B=v₀-2gt；
（2）設無力時豎直上拋的最大高度為h，由運動學公式，有：v₀²=2gh…⑥
根據(jù)位移時間關(guān)系可得：v₀t+$\frac{1}{2}$a₁t²=x₁…⑦
v₁t-$\frac{1}{2}$a₂t²=x₂…⑧
小球的運動有兩種情況：
情況一：
位移之和 x₁+x₂=$\frac{h}{2}$…⑨
聯(lián)立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑨可得：
  F′=F+$\frac{F}{g}$（g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$）
由題意得 F′＞F，即滿足條件 g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$＞0，即當0＜t＜（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$或t＞（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$才是可能的；
情況二：
位移之和x₁+x₂=-$\frac{h}{2}$…⑩
聯(lián)立①、②、③、⑥、⑦、⑧、⑩可得：
 F′=F+$\frac{F}{g}$（g-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$）
由題意得E₂＞E₁，即滿足條件F′＞F，即滿足條件 g-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$＞0，即當t＞（1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$，另一解為負，不合題意，舍去．
答：（1）小球運動到B點時的速度為v₀-2gt；
（2）增大后力的大小為F+$\frac{F}{g}$（g+$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$），t和v₀應滿足的條件為0＜t＜（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$或t＞（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$；
或增大后力的大小為F+$\frac{F}{g}$（g-$\frac{{v}_{0}^{2}}{4g{t}^{2}}$-$\frac{2{v}_{0}}{t}$），滿足的條件為t＞（1+$\frac{\sqrt{5}}{2}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$．

點評 解決復雜的力學問題，可以從兩條線索展開：
其一，力和運動的關(guān)系．根據(jù)物體的受力情況，用牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合運動學公式確定速度和位移等；
其二，功和能的關(guān)系．根據(jù)做功情況，引起物體的能量發(fā)生變化，利用動能定理進行解答．