Question

6．如圖甲，MN、PQ兩條平行的光滑金屬軌道與水平面成θ=30°角固定，M、P之間接電阻箱R，導軌所在空間存在勻強磁場，磁場方向垂直于軌道平面向上，磁感應強度為B=0.5T．質量為m的金屬桿a b水平放置在軌道上，其接入電路的電阻值為r．現從靜止釋放桿a b，測得最大速度為v_m．改變電阻箱的阻值R，得到v_m與R的關系如圖乙所示．已知軌距為L=2m，重力加速度g取l0m/s²，軌道足夠長且電阻不計．求：

（1）桿a b下滑過程中感應電流的方向及R=0時最大感應電動勢E的大小；
（2）金屬桿的質量m和阻值r；
（3）當R=4Ω時，求回路瞬時電功率每增加1W的過程中合外力對桿做的功W．

Answer 1

分析 （1）ab桿勻速下滑時速度最大，當R=0時，由乙圖讀出最大速度，由E=BLv求出感應電動勢，由右手定則判斷感應電流的方向；
（2）根據E=BLv、$I=\frac{E}{R+r}$及平衡條件，推導出桿的最大速度v與R的表達式，結合圖象的意義，求解桿的質量m和阻值r；
（3）當R=4Ω時，讀出最大速度．由E=BLv和功率公式$P=\frac{{E}^{2}}{R+r}$得到回路中瞬時電功率的變化量，再根據動能定理求解合外力對桿做的功W．

解答 解：（1）由右手定則判斷得知，桿中電流方向從b→a；
由圖可知，當R=0 時，桿最終以v=2m/s勻速運動，產生電動勢 E=BLv=0.5×2×2V=2V 
（2）設最大速度為v，桿切割磁感線產生的感應電動勢 E=BLv，
由閉合電路的歐姆定律：$I=\frac{E}{R+r}$，桿達到最大速度時滿足 mgsinθ-BIL=0，
解得v=$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}R+\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$．
由圖象可知：斜率為$k=\frac{4-2}{2}m/（s•Ω）=1m/（s•Ω）$，縱截距為v₀=2m/s，
得到：$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}r$=v₀，$\frac{mgsinθ}{{{B^2}{L^2}}}$=k  
解得：m=0.2kg，r=2Ω．
（3）由題意：E=BLv，$P=\frac{E^2}{R+r}$
得  $P=\frac{{{B^2}{L^2}{v^2}}}{R+r}$，則$△P=\frac{{{B^2}{L^2}v_2^2}}{R+r}-\frac{{{B^2}{L^2}v_1^2}}{R+r}$
由動能定理得W=$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$，
聯(lián)立解得：$W=\frac{{m（{R+r}）}}{{2{B^2}{L^2}}}△P$，
W=0.6J．
答：（1）電流方向從b→a；當R=0時，桿a b勻速下滑過程中產生感生電動勢E的大小是2V；
（2）金屬桿的質量m是0.2kg，阻值r是2Ω；
（3）當R=4Ω時，回路瞬時電功率每增加1W的過程中合外力對桿做的功W是0.6J．

點評 電磁感應問題經常與電路、受力分析、功能關系等知識相結合，是高中知識的重點，該題中難點是第三問，關鍵是根據物理規(guī)律寫出兩坐標物理量之間的函數關系．