Question

如圖所示，兩個(gè)金屬輪A₁、A₂，可繞通過(guò)各自中心并與輪面垂直的固定的光滑金屬細(xì)軸O₁和O₂轉(zhuǎn)動(dòng)，O₁和O₂相互平行，水平放置．每個(gè)金屬輪由四根金屬輻條和金屬環(huán)組成，A₁輪的輻條長(zhǎng)為a₁、電阻為R₁，A₂輪的輻條長(zhǎng)也為a₁、電阻為R₂，連接輻條的金屬環(huán)的寬度與電阻都可以忽略．半徑為a₀的絕緣圓盤D與A₁同軸且固連在一起，一輕細(xì)繩的一端固定在D邊緣上的某點(diǎn)，繩在D上繞足夠匝數(shù)后，懸掛一質(zhì)量為m的重物P．當(dāng)P下落時(shí)，通過(guò)細(xì)繩帶動(dòng)D和A₁繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)．轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中A₁、A₂保持接觸，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；兩輪與各自軸之間保持良好接觸，無(wú)相對(duì)滑動(dòng)；兩輪與各自細(xì)軸之間保持良好的電接觸；兩細(xì)軸通過(guò)導(dǎo)線與一阻值為R的電阻相連．除R和A₁、A₂兩輪中輻條的電阻外，所有金屬電阻都不計(jì)．整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向與轉(zhuǎn)軸平行，現(xiàn)將P由靜止起釋放，
（1）在圖中標(biāo)明八根輻條中的電流方向并畫出該裝置的等效電路圖
（2）在由靜止開(kāi)始下落過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)的能量是如何轉(zhuǎn)化的？
（3）定性畫出物體由靜止開(kāi)始下落過(guò)程中的速度-時(shí)間圖象
（4）求：P下落過(guò)程中的最大速度．

Answer 1

（1）P被釋放后，細(xì)繩的張力對(duì)D產(chǎn)生機(jī)械力矩，帶動(dòng)D和A₁作逆時(shí)針的加速轉(zhuǎn)動(dòng)，通過(guò)兩個(gè)輪子之間無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的接觸，A₁帶動(dòng)A₂作順時(shí)針的加速運(yùn)動(dòng)．由于兩個(gè)輪子的輻條切割磁場(chǎng)線，所以在A₁產(chǎn)生由周邊沿輻條指向軸的電動(dòng)勢(shì)，在A₂產(chǎn)生由軸沿輻條指向周邊的電動(dòng)勢(shì)，經(jīng)電阻R構(gòu)成閉合電路．A₁、A₂中各輻條上流有沿電動(dòng)勢(shì)方向的電流，在磁場(chǎng)中輻條受到安培力．不難看出，安培力產(chǎn)生的電磁力矩是阻力矩，使A₁、A₂加速轉(zhuǎn)動(dòng)的勢(shì)頭減緩．A₁、A₂從起始的靜止?fàn)顟B(tài)逐漸加速轉(zhuǎn)動(dòng)，電流隨之逐漸增大，電磁阻力矩亦逐漸增大，直至電磁阻力矩與機(jī)械力矩相等，D、A₁和A₂停止作加速轉(zhuǎn)動(dòng)，均作勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)，此時(shí)P勻速下落，
電流方向：左邊的四條電流方向均指向圓心，右邊的四條電流方向均背向圓心．
等效電路如左圖所示：
（2）加速過(guò)程的能量轉(zhuǎn)化：重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能；
勻速階段：重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．
（3）物體由靜止開(kāi)始下落過(guò)程中的速度-時(shí)間：先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速直線運(yùn)動(dòng)．圖象如右圖所示，
（4）設(shè)其速度為v，則A₁的角速度ω1=

v

a1

（1）
A₁帶動(dòng)A₂轉(zhuǎn)動(dòng)，A₂的角速度ω₂與A₁的角速度ω₁之間的關(guān)系為ω₁a₁=ω₂a₁（2）
A₁中每根輻條產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)均為E1=

1

2

B

a

21

ω1 （3）
軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₁中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值見(jiàn)（3）式．同理，A₂中，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₂中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值E2=

1

2

B

a

21

ω2（4）
A₁中每根輻條的電阻為R₁，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₁中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A1=

R1

4

（5）
A₂中每根輻條的電阻為R₂，軸與輪邊之間的電動(dòng)勢(shì)就是A₂中四條輻條電動(dòng)勢(shì)的并聯(lián)，其數(shù)值為R_A2=

R2

4

（6）
A₁輪、A₂輪和電阻R構(gòu)成串聯(lián)回路，其中的電流為I=

E1+E2

R+RA1+RA2

（7）
以（1）至（6）式代入（7）式，得I=

B a 21 a0 v

R+ R1 4 + R2 4

（8）
當(dāng)P勻速下降時(shí)，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，重力的功率等于所有電阻的焦耳熱功率之和，即 mgv=I²（R+

R1

4

+

R2

4

） （9）
以（8）式代入（9）式得V=

mg(4R+R1+R2)a02

4B2a14

答：（1）在圖中標(biāo)明八根輻條中的電流方向，并畫出該裝置的等效電路圖如左上圖．
（2）在由靜止開(kāi)始下落過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)的能量是加速過(guò)程的能量轉(zhuǎn)化：重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能；
勻速階段：重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．
（3）定性畫出物體由靜止開(kāi)始下落過(guò)程中的速度-時(shí)間圖象：如右上圖．
（4）求：P下落過(guò)程中的最大速度V=

mg(4R+R1+R2)a02

4B2a14

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