Question

如圖，相距為R的兩塊平行金屬板M、N正對放置，s₁、s₂分別為M、N板上的小孔，s₁、s₂、O三點共線且水平，且s₂O=R．以O為圓心、R為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)存在大小為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場．收集板D上各點到O點的距離以及板兩端點的距離都為2R，板兩端點的連線垂直M、N板．質(zhì)量為m、帶電量為+q的粒子，經(jīng)s₁無初速進入M、N間的電場后，通過s₂進入磁場．粒子重力不計．
（1）若粒子恰好打在收集板D的中點上，求M、N間的電壓值U；
（2）求粒子從s₁到打在D的最右端經(jīng)歷的時間t．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中運動時，電場力做功引起動能變化，由動能定理求得加速獲得的速度；粒子進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動，由牛頓第二定律求出軌跡半徑．當粒子打在收集板D的中點時，粒子在磁場中運動的半徑r₀=R，即可求出M、N間所加的電壓；
（2）粒子從s₁開始運動到打在D的中點上經(jīng)歷的時間分三段：加速電場中，由運動學平均速度法求出時間；磁場中根據(jù)時間與周期的關系求解時間；射出磁場后粒子做勻速直線運動，由速度公式求解時間，再求解總時間．

解答：解：（1）粒子從s₁到達s₂的過程中，根據(jù)動能定理得：qU=

1

2

mυ2…①
粒子進入磁場后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，有qυB=m

υ2

r

…②
當粒子打在收集板D的中點時，粒子在磁場中運動的半徑r₀=R 
解得：U=

qB2R2

2m

（2）根據(jù)幾何關系可以求得粒子在磁場中運動的半徑
r=

(2R)2-R2

=

3

R 
由 ②得粒子進入磁場時速度的大小υ=

qBr

m

粒子在電場中經(jīng)歷的時間t1=

R

υ 2

=

2 3 m

3qB

粒子在磁場中經(jīng)歷的時間
t2=

3 R? π 3

υ

=

πm

3qB

粒子出磁場后做勻速直線運動經(jīng)歷的時間
t3=

R

υ

=

3 m

3qB

粒子從s₁到打在收集板D上經(jīng)歷的最短時間為
t=t₁+t₂+t₃=

(3 3 +π)m

3qB

答：
（1）若粒子恰好打在收集板D的中點上，M、N間的電壓值U為

qB2R2

2m

；
（2）粒子從s₁到打在D的最右端經(jīng)歷的時間t為

(3 3+π )m

3qB

．

點評：本題是帶電粒子先經(jīng)電場加速，后經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)的問題，關鍵是根據(jù)幾何知識分析粒子在磁場運動的半徑與磁場半徑的關系．