Question

10．有一輛質(zhì)量為400kg的小汽車駛上圓弧半徑為50m的拱橋．（g取10m/s²）
（1）汽車到達橋頂時速度為5m/s，汽車對橋的壓力是多大？
（2）汽車以多大速度經(jīng)過橋頂時便恰好對橋沒有壓力而騰空？
（3）汽車對地面的壓力過小是不安全的．因此從這個角度講，汽車過橋時的速度不能過大．對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全，還是小些比較安全？
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R一樣，汽車要在地面上騰空，速度要多大？（已知地球半徑為6400km）

Answer 1

分析 （1）汽車受重力和向上的支持力，合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解出支持力，壓力與支持力是作用力與反作用力，大小相等；
（2）重力恰好完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解速度；
（3）根據(jù)牛頓第二定律得，mg-N=$m\frac{{v}^{2}}{r}$分析即可；
（4）依然是重力恰好完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律列式求解．

解答 解：（1）重力和向上的支持力的合力提供向心力
$mg-{F}_{N}=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：${F}_{N}=4000-400×\frac{25}{50}=3800N$
即汽車對橋的壓力為7600N．
（2）當(dāng)F_N=0時，重力恰好完全提供向心力
$mg=m\frac{{v}^{2}}{r}$
解得$v=\sqrt{10×50}=10\sqrt{5}m/s$
即汽車以10$\sqrt{5}$m/s的速度經(jīng)過橋頂時恰好對橋沒有壓力而騰空．
（3）根據(jù)牛頓第二定律得，mg-N=$m\frac{{v}^{2}}{r}$，同樣的車速，圓弧半徑越小，支持力越小，越不安全，
（4）重力恰好完全提供向心力，則有v=$\sqrt{gR}$=8×10³m/s，即速度為8×10³m/s．
答：（1）汽車到達橋頂時速度為5m/s，汽車對橋的壓力是3800N；
（2）汽車以10$\sqrt{5}$m/s的速度經(jīng)過橋頂時恰好對橋沒有壓力而騰空；
（3）對于同樣的車速，拱橋圓弧的半徑大些比較安全；
（4）如果拱橋的半徑增大到與地球半徑R一樣，汽車要在地面上騰空，速度為8×10³m/s．

點評 汽車過拱橋關(guān)鍵在于找到向心力來源，然后根據(jù)合力等于向心力列式求解，難度適中．