Question

“探路者”號(hào)宇宙飛船在宇宙深處飛行的過程中，發(fā)現(xiàn)A、B兩顆均勻球形天體，兩天體各有一顆靠近其表面飛行的衛(wèi)星，測(cè)得兩顆衛(wèi)星的周期相等，以下判斷正確的是（　　）

A．天體A、B的質(zhì)量一定不相等

B．天體A、B的密度一定相等

C．兩顆衛(wèi)星的線速度一定相等

D．天體A、B表面的重力加速度之比等于它們的半徑反比

Answer 1

分析：衛(wèi)星繞球形天體運(yùn)動(dòng)時(shí)，由萬(wàn)有引力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律得出天體的質(zhì)量與衛(wèi)星周期的關(guān)系式，再得出天體密度與周期的關(guān)系式，然后進(jìn)行比較．

解答：解：
A、設(shè)A、B中任決意球形天體的半徑為R，質(zhì)量為M，衛(wèi)星的質(zhì)量為m，周期為T．則由題意，衛(wèi)星靠近天體表面飛行，衛(wèi)星的軌道半徑約等于天體的半徑，則有
   G

Mm

R2

=m

4π2R

T2

，得M=

4π2R3

GT2

，T相等，R不一定相等，所以天體A、B的質(zhì)量不一定相等．故A錯(cuò)誤．
B、天體的密度為ρ=

M

V

=

M

4 3 πR3

，聯(lián)立得到ρ=

3π

GT2

，可見，ρ與天體的半徑無(wú)關(guān)，由于兩顆衛(wèi)星的周期相等，則天體A、B的密度一定相等．故B正確．
C、衛(wèi)星的線速度為v=

2πR

T

，T相等，而R不一定相等，線速度不一定相等．故C錯(cuò)誤．
D、天體A、B表面的重力加速度等于衛(wèi)星的向心加速度，即g=a=

4π2R

T2

，可見天體A、B表面的重力加速度之比等于它們的半徑正比．故D錯(cuò)誤．
故選B

點(diǎn)評(píng)：本題是衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的問題，要建立好物理模型，采用比例法求解．要熟練應(yīng)用萬(wàn)有引力定律、圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律結(jié)合處理這類問題．