Question

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第1象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，第Ⅳ象限以O(shè)N為直徑的半圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直于坐標(biāo)平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸正半軸上y=h處的M點(diǎn)，以速度v₀垂直于y軸射入電場(chǎng)，經(jīng)x軸上x(chóng)=2h處的P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，最后以速度v垂直于y軸射出磁場(chǎng)．不計(jì)粒子重力．求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（3）粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用牛頓第二定律與類平拋運(yùn)動(dòng)分位移公式結(jié)合，可求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E；
（2）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度大小，由牛頓第二定律求出軌道半徑；
（3）再作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡，由幾何知識(shí)求出粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)．

解答 解：（1）在電場(chǎng)中粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₁，則有：
2h=v₀t₁…①
h=$\frac{1}{2}$at₁²…②
根據(jù)牛頓第二定律得：qE=ma…③
聯(lián)立①②③式得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$…④
（2）由題意可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度也為v，根據(jù)動(dòng)能定理得：
qEh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑤
再根據(jù) qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…⑥
聯(lián)立④⑤⑥式得：$v=\sqrt{2}{v}_{0}$，r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$…⑦
（3）如圖，設(shè)粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為（x、-y），粒子進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v，與x軸正方向的夾角為θ，由圖可得：
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=45°
所以 x=2h-rcos45°=2h-$\frac{m{v}_{0}}{qB}$…⑧
y=r+rsin45°=（1+$\sqrt{2}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$…⑨
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（3）粒子離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的位置坐標(biāo)為[（2h-$\frac{m{v}_{0}}{qB}$ ），-（1+$\sqrt{2}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$]．

點(diǎn)評(píng) 粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識(shí)解決物理問(wèn)題．