Question

3．如圖，在平面直角坐標系xOy內(nèi)，第1象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限以O(shè)N為直徑的半圓形區(qū)域內(nèi)，存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子，從y軸正半軸上y=h處的M點，以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上x=2h處的P點進入磁場，最后以速度v垂直于y軸射出磁場．不計粒子重力．求：
（1）電場強度大小E；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑；
（3）粒子離開磁場時的位置坐標．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速運動，豎直方向做勻加速運動，應(yīng)用牛頓第二定律與類平拋運動分位移公式結(jié)合，可求出電場強度的大小E；
（2）根據(jù)動能定理求出粒子進入磁場時的速度大小，由牛頓第二定律求出軌道半徑；
（3）再作出粒子運動軌跡，由幾何知識求出粒子離開磁場時的位置坐標．

解答 解：（1）在電場中粒子做類平拋運動，設(shè)粒子在電場中運動的時間為t₁，則有：
2h=v₀t₁…①
h=$\frac{1}{2}$at₁²…②
根據(jù)牛頓第二定律得：qE=ma…③
聯(lián)立①②③式得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$…④
（2）由題意可知，粒子進入磁場時速度也為v，根據(jù)動能定理得：
qEh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑤
再根據(jù) qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$…⑥
聯(lián)立④⑤⑥式得：$v=\sqrt{2}{v}_{0}$，r=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$…⑦
（3）如圖，設(shè)粒子離開磁場時的位置坐標為（x、-y），粒子進入磁場時速度v，與x軸正方向的夾角為θ，由圖可得：
cosθ=$\frac{{v}_{0}}{v}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，θ=45°
所以 x=2h-rcos45°=2h-$\frac{m{v}_{0}}{qB}$…⑧
y=r+rsin45°=（1+$\sqrt{2}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$…⑨
答：（1）電場強度大小E為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qh}$；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}$；
（3）粒子離開磁場時的位置坐標為[（2h-$\frac{m{v}_{0}}{qB}$ ），-（1+$\sqrt{2}$）$\frac{m{v}_{0}}{qB}$]．

點評 粒子在電場中運動偏轉(zhuǎn)時，常用能量的觀點來解決問題，有時也要運用運動的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心、半徑及運動時間的確定也是本題的一個考查重點，要正確畫出粒子運動的軌跡圖，能熟練的運用幾何知識解決物理問題．