Question

如圖所示，一輕繩吊著粗細(xì)均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個(gè)細(xì)環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力kmg（k＞1）．?dāng)嚅_(kāi)輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設(shè)棒足夠長(zhǎng)，與地面發(fā)生碰撞時(shí)，觸地時(shí)間極短，無(wú)動(dòng)能損失．棒在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持豎直，空氣阻力不計(jì)．求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)和棒的加速度．
（2）從斷開(kāi)輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程s．
（3）與地面第二次碰撞前要使環(huán)不脫離棒，棒最少為多長(zhǎng)？
（4）從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，要使環(huán)不脫離棒，棒最少為多長(zhǎng)？

Answer 1

解：（1）第一次碰地后，環(huán)和棒的加速度大小分別是
a_環(huán)==（k-1）g，豎直向上．
a_棒==（k+1）g．豎直向下．
（2）落地及反彈的瞬時(shí)速度大小v₁=，a_棒=（k+1）g，豎直向下，
勻減速上升高度s₁=，
而s=H+2s₁．
解得s=
（3）設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間t₁達(dá)到共速v₁′，方向向下．以向下為正方向，
v₁′=v₁-a_環(huán)t₁=-v₁+a_棒t₁，
解得t₁=，v₁′=，
該過(guò)程棒上升的高度=
環(huán)下降的高度h₂==，相對(duì)滑動(dòng)距離x₁=h₁+h₂=．
故棒最少長(zhǎng)度為
（4）設(shè)從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，要使環(huán)不脫離棒，棒最少為l．根據(jù)能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
解得l=
答：（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)和棒的加速度分別為（k-1）g，豎直向上和（k+1）g．豎直向下．
（2）從斷開(kāi)輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運(yùn)動(dòng)的路程s為：
（3）與地面第二次碰撞前要使環(huán)不脫離棒，棒最少為．
（4）從斷開(kāi)輕繩到棒和環(huán)都靜止，要使環(huán)不脫離棒，棒最少為．
分析：（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過(guò)程中，環(huán)由于慣性繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，受到向上的滑動(dòng)摩擦力，大小為kmg，棒向上運(yùn)動(dòng)，受到向下的滑動(dòng)摩擦力，大小為kmg，故可以根據(jù)牛頓第二定律分別求出環(huán)和棒的加速度．
（2）棒運(yùn)動(dòng)的總路程為原來(lái)下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對(duì)棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以求得上升的高度．
（3）彈起后，環(huán)的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)過(guò)程構(gòu)成，一個(gè)是向下的勻減速，另一個(gè)是向上的勻加速直到與棒的速度相等，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出兩者相對(duì)滑動(dòng)距離，即等于棒最少長(zhǎng)度．
（4）據(jù)能量守恒列式，求出棒最少為長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性較強(qiáng)，涉及多過(guò)程運(yùn)動(dòng)分析，難點(diǎn)在于分析棒和環(huán)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得出位移．