Question

3．如圖所示，圓柱形區(qū)域的半徑為R，在區(qū)域同有垂直于紙面向里，磁感應強度大小為B的勻強磁場；對稱放置的三個相同的電容器．極板間距為d，極板電壓為U，與磁場相切的極板，在切點處均有一小孔，一帶電粒子，質量為m，帶電荷量為+q，自某電容器極板上的M點由靜止釋放，M點在小孔a的正上方，若經過一段時間后，帶電粒子又恰好返回M點，不計帶電粒子所受重力．求：
（1）帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑；
（2）U與B所滿足的關系式；
（3）帶電粒子由靜止釋放到再次返回M點所經歷的時間．

Answer 1

分析 （1）畫出運動的軌跡，根據幾何關系求得半徑；
（2）根據動能定理求出電子加速后的速度，然后由洛倫茲力提供向心力即可求出磁感應強度；
（3）求出粒子做圓周運動的周期，結合運動的軌跡求出電子在各段上的時間，求和即可．

解答 解：（1）磁場中原半徑r圓心角為120°的圓弧與半徑R圓心角為60°的軌道圓弧的兩段詳解在相同的兩點，由幾何關系解出：r=$\sqrt{3}$R；
（2）設粒子加速后獲得的速度為v，進入磁場后做勻速圓周運動的半徑為R．
由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0，
由洛倫茲力提供向心力，得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
由幾何關系得：r=Rtan60°
聯(lián)立以上公式得：B=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（3）根據運動電荷在磁場中做勻速圓周運動的周期公式T=$\frac{2πm}{qB}$=2πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$，
依題意分析可知粒子在磁場中運動一次所經歷的時間為$\frac{1}{6}$T，故粒子在磁場中運動的總時間t₁=3×$\frac{1}{6}$=πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$，
而粒子在勻強電場中做一類 似豎直上拋運動，所經歷的時間t₂，由s=$\frac{1}{2}$at²可求得：t₂=2$\sqrt{\frac{2d}{a}}$．
因為a=$\frac{qU}{md}$，
所以t₂=2d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$，粒子在電場中運動的總時間為：6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．?
帶電粒子由靜止釋放到再次返回M點所經歷的時間為：?
t=t₁+3t₂=πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$+6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．?
答：（1）帶電粒子在磁場中運動的軌道半徑為$\sqrt{3}$R；
（2）U與B所滿足的關系式為：B=$\frac{1}{R}$$\sqrt{\frac{2mU}{3q}}$；
（3）帶電粒子由靜止釋放到再次返回M點所經歷的時間為πR$\sqrt{\frac{3m}{2qU}}$+6d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$．

點評 帶電粒子在電磁場中的運動，要注意靈活選擇物理規(guī)律，電場中一般由動能定理或類平拋的規(guī)律求解，而磁場中粒子做圓周運動，應由向心力公式及幾何關系求解．