Question

如圖所示，帶電平行金屬板相距為2R，在兩板間半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙成向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，兩板及其左側(cè)邊緣連線均與磁場(chǎng)邊界剛好相切．一質(zhì)子（不計(jì)重力）沿兩板間中心線O₁O₂從左側(cè)O₁點(diǎn)以某一速度射入，沿直線通過(guò)圓形磁場(chǎng)區(qū)域，然后恰好從極板邊緣飛出，在極板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₀．若僅撤去磁場(chǎng)，質(zhì)子仍從O₁點(diǎn)以相同速度射入，經(jīng)

t0

2

時(shí)間打到極板上．
（1）求兩極板是電壓U；
（2）求質(zhì)子從極板間飛出時(shí)的速度大��；
（3）若兩極板不帶電，保持磁場(chǎng)不變，質(zhì)子仍沿中心線O₁O₂從O₁點(diǎn)射入，欲使質(zhì)子從兩板左側(cè)間飛出，射入的速度應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，由受力平衡條件，通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律，結(jié)合電場(chǎng)力與洛倫茲力表達(dá)式，即可求解；
（2）由速度與時(shí)間關(guān)系，可求質(zhì)子在沿電場(chǎng)方向的速度，因此可求出飛出極板間的速度大��；
（3）質(zhì)子恰好從上極板左邊緣飛出，因此由幾何關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與向心力表達(dá)式，從而可求出質(zhì)子兩板左側(cè)間飛出的條件．

解答：解：（1）設(shè)粒子從左側(cè)O₁點(diǎn)射入的速度為v₀，極板長(zhǎng)為L(zhǎng)
粒子在初速度方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)L：(L-2R)=t0：

t0

2

，
解得：L=4R 
在電場(chǎng)中：L-2R=v0?

t0

2

由牛頓第二定律，a=

qE

m

又R=

1

2

a(

t0

2

)2
在復(fù)合場(chǎng)中作勻速運(yùn)動(dòng)：q

U

2R

=qv0B
解得v0=

4R

t0

，
則有，U=

8R2B

t0

（2）質(zhì)子從極板間飛出時(shí)的沿電場(chǎng)方向分速度大小，v_y=

qE

m

t=

2R

t

=v0
從極板間飛出時(shí)的速度大小v=

v 2 0 + v 2 y

=

2

v0=

4 2 R

t0

（3）設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為r，質(zhì)子恰好從上極板左邊緣飛出時(shí)速度的偏轉(zhuǎn)角為α，
由幾何關(guān)系可知，β=π-α=45°，
r+

2

r=R
因?yàn)镽=

1

2

qE

m

(

t0

2

)2，
所以

qE

m

=

qv0B

m

=

8R

t 2 0

根據(jù)向心力公式，qvB=m

v2

r

，
解得：v=

2( 2 -1)

t0

R
所以質(zhì)子兩板左側(cè)間飛出的條件為0＜v＜

2( 2 -1)

t0

R；
答：（1）兩極板是電壓U=

8R2B

t0

；
（2）質(zhì)子從極板間飛出時(shí)的速度大小

4 2 R

t0

；
（3）射入的速度應(yīng)滿足0＜v＜

2( 2 -1)

t0

R條件．

點(diǎn)評(píng)：考查粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)、類平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的處理方法，掌握運(yùn)動(dòng)學(xué)公式與牛頓第二定律的綜合應(yīng)用，理解幾何關(guān)系的正確使用．