Question

12．如圖所示為宇宙中一恒星系的示意圖，A為該星系的一顆行星，它繞中央恒星O的運行軌道近似為圓．已知引力常量為G，天文學家觀測得到A行星的運行軌道半徑為R₀，周期為T₀．A行星的半徑為r₀，其表面的重力加速度為g，不考慮行星的自轉(zhuǎn)．
（1）中央恒星O的質(zhì)量為多大？
（2）經(jīng)長期觀測發(fā)現(xiàn)，A行星實際運動的軌道與圓軌道總存在一些偏離，且周期性地每隔時間t₀發(fā)生一次最大的偏離．天文學家認為形成這種現(xiàn)象的原因可能是A行星外側(cè)還存在著一顆未知的行星B（假設(shè)其運行軌道與A在同一水平面內(nèi)，且與A的繞行方向相同），它對A行星的萬有引力引起A軌道的偏離．（由于B對A的吸引而使A的周期引起的變化可以忽略）根據(jù)上述現(xiàn)象及假設(shè)，試求未知行星B的運動周期T及軌道半徑R．

Answer 1

分析 （1）研究行星繞恒星做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式帶有周期表達式，再根據(jù)已知量解出恒星質(zhì)量；
（2）先根據(jù)多轉(zhuǎn)動一圈時間為t₀，求出衛(wèi)星的周期；然后再根據(jù)開普勒第三定律解得軌道半徑．

解答 解：（1）設(shè)中央恒星質(zhì)量為M，A行星質(zhì)量為m，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{Mm}{{R}_{0}^{2}}$=m$（\frac{2π}{{T}_{0}}）^{2}$R⁰，解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）每隔時間t₀發(fā)生一次最大的偏離，說明A、B每隔時間t₀有一次相距最近的情況，
這時它們轉(zhuǎn)過的角度相差1周（2π），所以有：（$\frac{2π}{{T}_{0}}$-$\frac{2π}{T}$）t₀=2π，
解得：T=$\frac{{T}_{0}{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，
由開普勒第三定律得：$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}$=$\frac{{R}_{0}^{3}}{{T}_{0}^{2}}$，
解得：R=$（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{\frac{2}{3}}$R₀；
答：（1）中央恒星O的質(zhì)量為：$\frac{4{π}^{2}{R}_{0}^{3}}{G{T}_{0}^{2}}$；
（2）未知行星B的運動周期T為：$\frac{{T}_{0}{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}$，行星的軌道半徑R為：$（\frac{{t}_{0}}{{t}_{0}-{T}_{0}}）^{\frac{2}{3}}$R₀．

點評 本題考查了萬有引力定律的應(yīng)用，考查了求質(zhì)量、周期與軌道半徑問題，知道萬有引力提供向心力是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用萬有引力公式與牛頓第二定律可以解題；從本題可以看出，通過測量環(huán)繞天體的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期，可以求出中心天體的質(zhì)量．