Question

6．如圖所示，長L=0.20m的絲線的一端拴一質量為m=1.0×10^-4 kg、帶電荷量為q=+1.0×10^-6 C的小球，另一端連在一水平軸O上，整個裝置處在豎直向上的勻強電場中，電場強度E=2.0×10³ N/C．現將小球拉到與軸O在同一水平面的A點上，然后給小球一個豎直向上的初速度v₀，使小球可在豎直面內做圓周運動，取g=10m/s²．求：
（1）v₀的最小值；
（2）小球通過最高點時，絲線對小球的拉力大�。�

Answer 1

分析 （1）小球在最低點時繩子拉力為0時，速度最小，對從最低點到A過程根據動能定理列式求解A點的速度；
（2）先根據動能定理求出最高點的速度，在B點，球受到重力、拉力和電場力，合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求解拉力．

解答 解：（1）電場力$F=Eq=2.0×1{0}_{\;}^{3}×1.0×1{0}_{\;}^{-6}N=2×1{0}_{\;}^{-3}$N
重力：$G=mg=1×1{0}_{\;}^{-4}×10=1{0}_{\;}^{-3}N$
將電場力和重力等效為$F′=F-G=1{0}_{\;}^{-3}N$，方向向上
在最低點即等效重力場的“最高點”，當繩子拉力為0時，
$F′=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$
代入解得：$v=\sqrt{\frac{F′L}{m}}=\sqrt{\frac{1{0}_{\;}^{-3}×0.2}{1.0×1{0}_{\;}^{-4}}}=\sqrt{2}m/s$
從最低點到A點根據動能定理有：$F′L=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
代入數據：$1{0}_{\;}^{-3}×0.2=\frac{1}{2}×1.0×1{0}_{\;}^{-4}（{v}_{0}^{2}-2）$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{6}m/s$
（2）小球從最低點到最高點，根據動能定理，有
$F′•2L=\frac{1}{2}mv{′}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
代入數據：$1{0}_{\;}^{-3}×0.4=\frac{1}{2}×1.0×1{0}_{\;}^{-4}（v{′}_{\;}^{2}-2）$
解得：$v′=\sqrt{10}m/s$
在最高點，根據向心力公式有：${F}_{T}^{\;}-F′=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{L}$
代入數據：${F}_{T}^{\;}-1{0}_{\;}^{-3}=1.0×1{0}_{\;}^{-4}\frac{10}{0.2}$
解得：${F}_{T}^{\;}=6×1{0}_{\;}^{-3}N$
答：（1）v₀的最小值$\sqrt{6}m/s$；
（2）小球通過最高點時，絲線對小球的拉力大小$6×1{0}_{\;}^{-3}N$

點評 本題關鍵是明確小球的運動情況和受力情況，然后結合動能定理和牛頓第二定律列式，注意本題中可以將重力和電場力的合力當成“重力”，等效重力場的“最高點”是圓周的最低點．