Question

10．如圖所示，水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物塊，當物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時，連接物塊和轉(zhuǎn)軸的繩剛好被拉直（繩中張力為零）．已知物塊與轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是其重力的k倍，當繩中張力達到8kmg時，繩子將被拉斷．求：
（1）轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₁=$\sqrt{\frac{kg}{2r}}$時，繩中的張力T₁；
（2）轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₁=$\sqrt{\frac{3kg}{2r}}$時，繩中的張力T₂；
（3）要將繩拉斷，轉(zhuǎn)盤的最小轉(zhuǎn)速ω_min．

Answer 1

分析 （1）、（2）先求出當向心力為物塊與轉(zhuǎn)盤的最大靜摩擦力時的臨界角速度ω₀，比較其與ω₁的大小，可判知繩子沒有張力，從而可第一問的結(jié)果．再比較ω₀與ω₂的大小，可知最大靜摩擦力已經(jīng)不能滿足物塊的圓周運動，繩子要有張力，再結(jié)合向心力公式可解得此時的繩子的張力．
（3）要將繩拉斷，靜摩擦力和繩子的張力都要達到最大值，由向心力公式求解角速度的最小值．

解答 解：設(shè)角速度為ω₀時繩剛好被拉直且繩中張力為零，則由題意有：
kmg=m${ω}_{0}^{2}$r
解得：ω₀=$\sqrt{\frac{kg}{r}}$
（1）當轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₁=$\sqrt{\frac{kg}{2r}}$時，因為ω₁＜ω₀，物體所受靜摩擦力足以提供物體隨轉(zhuǎn)盤做圓周運動所需向心力，繩子張力為零，即：T₁=0．
（2）當轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₂=$\sqrt{\frac{3kg}{2r}}$時，因為ω₂＞ω₀，物體所受最大靜摩擦力不足以提供物體隨轉(zhuǎn)盤做圓周運動所需向心力，則繩子有張力．
則有：kmg+T₂=m${ω}_{2}^{2}$r
解得：T₂=$\frac{1}{2}$kmg
（3）要將繩拉斷，靜摩擦力和繩子的張力都要達到最大值，則有：
kmg+8kmg=m${ω}_{min}^{2}$r
解得：ω_min=3$\sqrt{\frac{kg}{r}}$
答：（1）轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₁=$\sqrt{\frac{kg}{2r}}$時繩中的張力T₁為0；
（2）轉(zhuǎn)盤的角速度為ω₂=$\sqrt{\frac{3kg}{2r}}$時繩中的張力為$\frac{1}{2}$kmg．
（3）要將繩拉斷，轉(zhuǎn)盤的最小轉(zhuǎn)速ω_min為3$\sqrt{\frac{kg}{r}}$．

點評 要正確為解答該題，首先要明確向心力的來源，向心力是沿半徑方向上的所有力的合力．對于該題，當角速度較小時，需要的向心力較小，由靜摩擦力即可提供，但是當角速度增加到一定的數(shù)值，靜摩擦力不能滿足其做圓周運動的向心力了，繩子就要產(chǎn)生張力，對臨界狀態(tài)的尋找和分析是解答該題的關(guān)鍵．