Question

19．如圖所示，兩間距為d的平行光滑導(dǎo)軌由固定在同一水平面上的導(dǎo)軌CD-C′D′和豎直平面內(nèi)半徑為r的$\frac{1}{4}$圓弧導(dǎo)軌AC-A′C′組成，水平導(dǎo)軌與圓弧導(dǎo)軌相切，左端接一阻值為R的電阻，不計導(dǎo)軌電阻；水平導(dǎo)軌處于磁感應(yīng)強度大小為B、方向豎直向上的勻強磁場中，其他地方無磁場．導(dǎo)體棒甲靜止于CC′處，導(dǎo)體棒乙從AA′處由靜止釋放，沿圓弧導(dǎo)軌運動，與導(dǎo)體棒甲相碰后粘合在一起，向左滑行一段距離后停下．已知兩棒質(zhì)量均為m，電阻均為R，始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好，重力加速度大小為g，求：
（1）兩棒粘合前瞬間棒乙對每個圓弧導(dǎo)軌底端的壓力大小為N；
（2）兩棒在磁場中運動的過程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）兩棒粘合后受到的最大安培力F_m．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)機械能守恒可得到乙棒到達圓弧底的速度，再根據(jù)牛頓第二定律可計算受到的支持力，即為對圓弧壓力大��；
（2）根據(jù)動量守恒定律可以求解兩個棒相碰并粘合在一起速度，再根據(jù)能量售后定律可求解電路中產(chǎn)生的焦耳熱．
（3）當兩個金屬棒速度最大時，所受安培力最大，可以根據(jù)感應(yīng)電動勢公式，歐姆定律和安培力公式可計算最大安培力大�。�

解答 解：（1）設(shè)兩棒粘合前瞬間棒乙的速度大小為 v₁，對棒乙沿圓弧導(dǎo)軌運動的過程，
          根據(jù)機械能守恒定律有$\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}=mgr$，
          解得${v}_{1}=\sqrt{2gr}$，
        兩棒粘合前瞬間，棒乙受到的支持力N′與重力mg的合力提供向心力，
        有：$2N′-mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{r}$，
        解得    $N′=\frac{3}{2}mg$，
      根據(jù)牛頓第三定律可知    $N=N′=\frac{3}{2}mg$．
（2）設(shè)兩棒相碰并粘合在一起瞬時速度  v₂，
      根據(jù)動量守恒定律有 mv₁=2mv₂，
       解得  ${v}_{2}=\sqrt{\frac{gr}{2}}$，
     根據(jù)能量守恒定律有   $Q=\frac{1}{2}×2m{{v}_{2}}^{2}$，
    解得   $Q=\frac{1}{2}mgr$．
（3）經(jīng)分析可知，兩棒相碰并粘合在一起后切割磁感線的最大速度即v₂，
    故回路中產(chǎn)生的最大感應(yīng)電動勢為  E_m=Bdv₂，
    根據(jù)閉合電路的歐姆定律可知，回路中通過的最大電流為：${I}_{m}=\frac{E}{R+\frac{1}{2}R}$，
   又安培力 F=BI_md，
   解得最大安培力 $F=\frac{{B}^{2}emoy822^{2}\sqrt{2gr}}{3R}$
答：（1）兩棒粘合前瞬間棒乙對每個圓弧導(dǎo)軌底端的壓力大小$\frac{3}{2}mg$；
（2）兩棒在磁場中運動的過程中，電路中產(chǎn)生的焦耳熱為  $\frac{1}{2}mgr$；
（3）兩棒粘合后受到的最大安培力為$\frac{{B}^{2}akkq6ow^{2}\sqrt{2gr}}{3R}$．

點評 注意棒對圓弧壓力和棒所受支持力大小和方向關(guān)系，最后結(jié)果要用牛頓第三定律說明；兩個金屬棒碰撞動量守恒定律，但是機械能不守恒．