Question

11．如圖所示，質(zhì)量M=1kg的滑板A帶有四分之一光滑圓軌道，圓規(guī)道的半徑R=1.8m，圓弧底端點切線水平，滑板的水平部分粗糙．現(xiàn)滑板A靜止在光滑水平面上，左側(cè)緊靠固定擋板，右側(cè)有與A等高的平臺，平臺與A的右端間距為s．平臺最右端有一個高h=1.8m的光滑斜坡，斜坡和平臺用長度不計的小光滑圓弧連接，斜坡頂端連接另一水平面CD．現(xiàn)將質(zhì)量m=2kg的小滑塊B（可視為質(zhì)點）從A的頂端由靜止釋放，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）滑塊B剛滑到圓弧底端時，對圓弧底端軌道的壓力大�。�
（2）若A、B間動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，保證A與平臺相碰前A、B能達到共同速度，則s應(yīng)滿足什么條件？
（3）平臺上P、Q之間是一個寬度L=0.5m的特殊區(qū)域，PQ及水平面CD都為粗糙，且動摩擦因數(shù)μ₂=0.6．平臺其余部分光滑．在滿足第（2）問的條件下，若A與B共速時，B剛好滑到A的右端，A恰與平臺相碰，此后B滑上平臺，且滑板A向右碰到平臺，或向左碰到擋板時立即停止，現(xiàn)確定滑塊B最后停下來是準確的位置．

Answer 1

分析 （1）滑塊在圓弧軌道上下滑的過程中，由機械能守恒定律求出滑塊滑到軌道底端時的速度，由牛頓第二定律求解物塊滑到圓弧軌道底端時軌道對滑塊的支持力，從而得到滑塊對圓弧底端軌道的壓力大小．
（2）滑塊在A的水平部分上滑行時，由動量守恒定律和動能定理求s應(yīng)滿足的條件．
（3）B在PQ間通過的路程與滑動摩擦力做功有關(guān)，分情況，由動能定理求解．

解答 解：（1）設(shè)滑塊B滑到A的底端時速度為v₀，根據(jù)機械能守恒定律得：
   mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 v₀=6m/s
設(shè)滑塊B剛下滑到圓弧底端時，圓弧軌道對滑塊的支持力為F_N，由牛頓第二定律得：
    F_N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 F_N=60N
由牛頓第三定律得：F_壓=F_N=60N
（2）設(shè)AB共同速度為v₁，取向右為正方向，由動量守恒定律得：
   mv₀=（m+M）v₁．
解得 v₁=4m/s
對A，由動能定理得：
  μ₁mgs=$\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}$
解得 s=0.8m
即保證A與平臺相碰前A、B能達到共同速度，s應(yīng)滿足 s＞0.8m．
（3）設(shè)滑塊第一次到達Q處的速度為v₂時，則：${μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v₂=$\sqrt{10}$m/s
若滑塊恰好到達斜坡頂端，根據(jù)機械能守恒定律得：
    mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}$
解得 v₃=6m/s＞v₂
可知滑塊不能滑上平臺，滑塊到達一定的高度后將沿斜面返回，當滑塊第二次到達Q點時，滑塊的速度仍然是$\sqrt{10}$m/s
設(shè)滑塊第二次到達P點時的速度為v₄，則：${μ}_{2}mgL=\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{4}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v₄=2m/s
由于滑板A向右碰到平臺后靜止，可知B返回后仍然能滑上滑板A；此后A與B一起向左運動，系統(tǒng)的動量守恒；
該過程中選取向左為正方向，設(shè)二者速度相等時共同速度為，則v₅：
mv₄=（m+M）v₅．
代入數(shù)據(jù)得：v₅=$\frac{4}{3}$m/s
該過程中B相對于A的位移設(shè)為s′，則：μ₁mgs′=$\frac{1}{2}M{v}_{5}^{2}$
解得 s′=$\frac{0.8}{9}$m＜s
然后A與B一起以相等的速度向左運動，A向左碰到擋板時立即停止，所以B將繼續(xù)在A上滑動，滑動的最大距離為x，則：
${μ}_{1}mgx=\frac{1}{2}m{v}_{5}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：x=0.4m
由于$s′+x=\frac{0.8}{9}+0.4≈0.49m＜0.8m$
可知B最終停止在距離A右端0.49m處．
答：（1）滑塊B剛滑到圓弧底端時，對圓弧底端軌道的壓力大小是60N．
（2）若A、B間動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，保證A與平臺相碰前A、B能達到共同速度，則s應(yīng)大于0.8m；
（3）平臺上P、Q之間是一個寬度L=0.5m的特殊區(qū)域，PQ及水平面CD都為粗糙，且動摩擦因數(shù)μ₂=0.6．平臺其余部分光滑．在滿足第（2）問的條件下，若A與B共速時，B剛好滑到A的右端，A恰與平臺相碰，此后B滑上平臺，且滑板A向右碰到平臺，或向左碰到擋板時立即停止，滑塊B最后停下來是在距離A右端0.49m處，而A停在擋板處．

點評 解決本題的關(guān)鍵是要分析清楚物體的運動情況，確定滑塊可能的運動狀態(tài)，知道涉及力在空間的效果時運用動能定理研究．滑動摩擦力做功與路程有關(guān)．