Question

1．地球和火星是繞太陽(yáng)運(yùn)行相鄰的兩顆行星，均繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如地球和火星半徑之比為2：1，繞太陽(yáng)軌道半徑之比為2：3，質(zhì)量之比為9：1，則下列說法正確的是（　　）

• A． 地球與火星的公轉(zhuǎn)周期之比為$\sqrt{\frac{27}{8}}$
• B． 地球與火星受到太陽(yáng)引力之比為$\frac{9}{4}$
• C． 地球與火星表面重力加速度之比為$\frac{9}{4}$
• D． 地球與火星公轉(zhuǎn)速度之比為$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得出地球和火星繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng)的線速度和周期的表達(dá)式，結(jié)合軌道半徑之比求出公轉(zhuǎn)速度之比和公轉(zhuǎn)周期之比．根據(jù)萬(wàn)有引力定律公式得出地球與火星受到太陽(yáng)的引力大小之比．根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力得出星球表面的重力加速度，從而得出重力加速度大小之比．

解答 解：A、根據(jù)$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因?yàn)榈厍蚝突鹦抢@太陽(yáng)的軌道半徑之比為2：3，則周期之比為 $\sqrt{\frac{8}{27}}$，公轉(zhuǎn)速度之比為$\sqrt{\frac{3}{2}}$，故AD錯(cuò)誤．
B、根據(jù)F=$G\frac{Mm}{{r}^{2}}$得，地球和火星的質(zhì)量之比為9：1，繞太陽(yáng)軌道半徑之比為2：3，則受到太陽(yáng)的引力大小之比為$\frac{81}{4}$，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得，g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，地球和火星的質(zhì)量之比為9：1，地球和火星半徑之比為2：1，則地球與火星表面的重力加速度之比為$\frac{9}{4}$，故C正確．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬(wàn)有引力提供向心力，2、萬(wàn)有引力等于重力，并能靈活運(yùn)用．