Question

如圖所示，裝置BO′O可繞豎直軸O′O轉(zhuǎn)動(dòng)，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A與兩細(xì)線(xiàn)連接后分別系于B、C兩點(diǎn)，裝置靜止時(shí)細(xì)線(xiàn)AB水平，細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角θ=37°．已知小球的質(zhì)量m=1kg，細(xì)線(xiàn)AC長(zhǎng)L=1m，B點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的水平距離和距C點(diǎn)豎直距離相等．（重力加速度g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

（1）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₁時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB上的張力為0而細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角仍為37°，求角速度ω₁的大��；
（2）若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₂時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB剛好豎直，且張力為0，求此時(shí)角速度ω₂的大��；
（3）裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，試通過(guò)計(jì)算在坐標(biāo)圖中畫(huà)出細(xì)線(xiàn)AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象．

Answer 1

分析：（1）細(xì)線(xiàn)AB上張力恰為零時(shí)，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度ω₁的大�。�
（2）細(xì)線(xiàn)AB剛好豎直，且張力為0時(shí)，由幾何關(guān)系求出細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角．細(xì)線(xiàn)AB松弛，根據(jù)小球重力和拉力的合力提供向心力求出此時(shí)角速度ω₂的大�。�
（3）根據(jù)牛頓第二定律分別求出ω≤ω₁=

5

2

2

rad/s時(shí)、ω₁≤ω≤ω₂時(shí)、ω＞ω₂時(shí)拉力的大小，從而確定細(xì)線(xiàn)AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系，并作出圖象．

解答：解（1）細(xì)線(xiàn)AB上張力恰為零時(shí)，小球靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律有：
   mgtan37°=m

ω

2 1

lsin37°
解得：ω1=

g lcos37°

=

50 4

rad/s=

5

2

2

rad/s
（2）細(xì)線(xiàn)AB恰好豎直，但張力為零時(shí)，設(shè)細(xì)線(xiàn)AC與豎直方向的夾角為θ′．
由幾何關(guān)系得：cosθ′=

3

5

，得θ'=53°
根據(jù)牛頓第二定律得：mgtanθ′=m

ω

2 2

lsinθ′ 
解得，ω2=

50 3

rad/s
（3）當(dāng)ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB水平，細(xì)線(xiàn)AC上張力的豎直分量始終等于小球的重力：Tcosθ=mg；
解得：T=

mg

cosθ

=12.5N．
ω₁≤ω≤ω₂時(shí)細(xì)線(xiàn)AB松弛，細(xì)線(xiàn)AC上張力的水平分量等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，則有：
  Tsinα=mω²lsinα，T=mω²l
ω＞ω₂時(shí)，細(xì)線(xiàn)AB在豎直方向繃直，仍然由細(xì)線(xiàn)AC上張力的水平分量提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力：Tsinθ'=mω²lsinθ'T=mω²l
綜上所述：ω≤ω1=

5

2

2

rad/s時(shí)，T=12.5N不變；ω＞ω₁時(shí)，T=mω²l=ω²（N），T-ω²關(guān)系圖象如圖所示             

答：（1）角速度ω₁的大小為

5

2

2

rad/s；（2）此時(shí)角速度ω₂的大小為

50 3

rad/s；（3）計(jì)算見(jiàn)上，在坐標(biāo)圖中畫(huà)出細(xì)線(xiàn)AC上張力T隨角速度的平方ω²變化的關(guān)系圖象如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵理清小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力來(lái)源，確定小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的臨界狀態(tài)，運(yùn)用牛頓第二定律進(jìn)行求解．