Question

3．如圖所示，質(zhì)量分別為m、2m的物體a、b通過輕繩和不計摩擦的定滑輪相連，均處于靜止狀態(tài)，a與水平面上固定的勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相栓連，Q點有一擋板，若有物體與其垂直相撞會以原速率彈回，現(xiàn)剪斷a、b之間的繩子，a開始上下往復(fù)運動，b下落至P點時以原速率水平向右運動，當(dāng)b靜止時，a恰好首次到達最低點，一直PQ長s₀，重力加速度g，b距P高h，且僅經(jīng)過P點一次，b滑動時動摩擦因數(shù)μ，a、b均可看做質(zhì)點，彈簧在彈性限度范圍內(nèi)，試求：
（1）物體a的最大速度；
（2）物體a第一次運動到最低點所需要的時間；
（3）物體b停止的位置與P點距離．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)彈簧彈力與a的重力相等時a的速度最大，由機械能守恒定律可以求出最大速度．
（2）根據(jù)彈簧振子的周期公式求出a的運動時間．
（3）由動能定理求出b在水平面上的路程，然后答題．

解答 =解：（1）沒有間斷細線前，對a，由平衡條件得：2mg=mg+kx₁，
當(dāng)彈簧彈力與a的重力相等時a的速度最大，由平衡條件得：mg=kx₂，
解得：x₁=x₂=$\frac{mg}{k}$，
初速度位置與速度最大位置彈簧的彈性勢能E_P相等，由機械能守恒定律得：E_P+mg（x₁+x₂）=E_P+$\frac{1}{2}$mv²，
解得，最大速度：v=2g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（2）a做簡諧運動，周期：T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，
物體a第一次運動到最低點所需要的時間：t=$\frac{1}{2}$T=π$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）在整個運動過程中，對b，由動能定理得：
2mgh-μ•2mgs=0-0，
解得：s=$\frac{h}{μ}$，
如果b與Q發(fā)生碰撞，則物體b停止的位置與P點距離：d=s₀-（s-s₀）=2s₀-$\frac{h}{μ}$，
如果b與Q不發(fā)生碰撞，則物體b停止的位置與P點距離：d=s=$\frac{h}{μ}$；
答：（1）物體a的最大速度為2g$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（2）物體a第一次運動到最低點所需要的時間為π$\sqrt{\frac{m}{k}}$；
（3）物體b停止的位置與P點距離為2s₀-$\frac{h}{μ}$或$\frac{h}{μ}$．

點評 本題考查了求速度、時間、距離問題，分析清楚物體有難度過程，應(yīng)用機械能守恒定律、動能定理即可正確解題．