Question

【題目】如圖所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧的上端固定，下端與小球相連接，小球的質(zhì)量為m，小球靜止于O點(diǎn)。現(xiàn)將小球拉到O點(diǎn)下方距離為A的位置，由靜止釋放，此后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終未超過(guò)彈簧的彈性限度。規(guī)定平衡位置處為重力勢(shì)能和彈簧彈性勢(shì)能的零點(diǎn)。以平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的豎直向下的一維坐標(biāo)系Ox．忽略空氣阻力的影響。

（1）從運(yùn)動(dòng)與相互作用觀點(diǎn)出發(fā)，解決以下問(wèn)題：

a．求小球處于平衡狀態(tài)時(shí)彈簧相對(duì)原長(zhǎng)的伸長(zhǎng)量s；

b．證明小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；

（2）從教科書中我們明白了由v﹣t圖象求直線運(yùn)動(dòng)位移的思想和方法；從機(jī)械能的學(xué)習(xí)，我們理解了重力做功的特點(diǎn)并進(jìn)而引入重力勢(shì)能，由此可以得到重力做功與重力勢(shì)能變化量之間的關(guān)系。圖象法和比較法是研究物理問(wèn)題的重要方法，請(qǐng)你借鑒此方法，從功與能量的觀點(diǎn)出發(fā)，解決以下問(wèn)題：

a．小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小球相對(duì)平衡位置的位移為x時(shí)，證明系統(tǒng)具有的重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的總和Ep的表達(dá)式為；

b．求小球在振動(dòng)過(guò)程中，運(yùn)動(dòng)到平衡位置O點(diǎn)下方距離為時(shí)的動(dòng)能Ek．并根據(jù)小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中速度v與相對(duì)平衡位置的位移x的關(guān)系式，畫出小球運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程中速度隨振動(dòng)位移變化的v﹣x圖象。

Answer 1

【答案】（1）a．；b．見(jiàn)解析。（2）a．見(jiàn)解析。b．；

【解析】

（1）a．對(duì)小球，由平衡條件mg＝ks。

b．設(shè)小球偏離平衡位置x時(shí)的回復(fù)力為F回＝mg﹣k（s+x）＝﹣kx，故小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

（2）a．重力勢(shì)能EpG＝﹣mgx

以平衡位置處彈性勢(shì)能為0，從平衡位置（彈簧伸長(zhǎng)量為s）到坐標(biāo)為x處（彈簧伸長(zhǎng)量為s+x），根據(jù)彈簧彈力特點(diǎn)做出F﹣x圖線如圖，彈簧彈力做功為

設(shè)x坐標(biāo)處的彈性勢(shì)能為，由彈力做功與彈性勢(shì)能變化量的關(guān)系可知，即

得

重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的總和 。

b．小球在運(yùn)動(dòng)到平衡位置O點(diǎn)下方距離為時(shí)的勢(shì)能

小球在振幅處的動(dòng)能為零，依據(jù)能量守恒定律有

可得，

由能量守恒定律，即，也即，

整理得：

故v﹣x圖是橢圓。