Question

7．如圖所示是位于X星球表面的豎直光滑圓弧軌道，宇航員實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)位于軌道最低點(diǎn)的小球速度至少為v₀時(shí)，才能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)．已知圓弧軌道半徑為r，X星球的半徑為R，萬有引力常量為G．求：（結(jié)果可以用根式表示）
（1）X星球表面重力加速度；
（2）X星球的第一宇宙速度；
（3）環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星的周期．

Answer 1

分析 （1）小球剛好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，有重力充當(dāng)向心力，小球在光滑圓弧軌道運(yùn)動(dòng)的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，根據(jù)機(jī)械能守恒得出重力加速度的大小．
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，求第一宇宙速度
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，以及萬有引力等于重力，聯(lián)立解出環(huán)月衛(wèi)星的周期

解答 解：（ 1）設(shè)X星球表面重力加速度為g，質(zhì)量為M，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)；則小球在最高點(diǎn)時(shí)，僅由重力提供向心力；根據(jù)牛頓第二定律有：
mg=$m\frac{{V}^{2}}{r}$
小球從軌道最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理有：
-mg×$2r=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{V}_{0}^{2}$
聯(lián)立兩式可得：g=$\frac{{V}_{0}^{2}}{5r}$
（2）在X星球發(fā)射衛(wèi)星的最小速度為月球第一宇宙速度
$\frac{GM{m}_{1}}{{R}^{2}}={m}_{1}\frac{{V}_{min}^{2}}{R}$
又$\frac{GM{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}g$
聯(lián)立方程解得：V_min=${V}_{0}\sqrt{\frac{R}{5r}}$
（3）環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星由萬有引力提供向心力，有
$\frac{GMm}{4{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}2R$

解得T=$4πR\sqrt{\frac{R}{GM}}$$•\sqrt{2}$=$4π\(zhòng)sqrt{\frac{R}{g}}$=$\frac{4π}{{V}_{0}}\sqrt{10Rr}$
答：（1）X星球表面重力加速度$\frac{{V}_{0}^{2}}{5r}$；
（2）X星球的第一宇宙速度${V}_{0}\sqrt{\frac{R}{5r}}$；
（3）環(huán)繞X星球的軌道半徑為2R的衛(wèi)星的周期$\frac{4π}{{V}_{0}}\sqrt{10Rr}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵會(huì)運(yùn)用機(jī)械能守恒定律定律解題，知道小球在內(nèi)軌道運(yùn)動(dòng)恰好過最高點(diǎn)的臨界條件．以及掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力