Question

1．如圖所示，質(zhì)量為m的物塊A被輕質(zhì)細(xì)繩系住斜吊著放在傾角為30°的靜止斜面上，物塊A與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ（μ＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$），細(xì)繩繞過(guò)定滑輪O，左右兩邊與豎直方向的夾角α=30°、β=60°，細(xì)繩右端固定在天花板上，O′為細(xì)繩上一光滑動(dòng)滑輪，下方懸掛著重物B．整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，重力加速度為g，最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力，不考慮動(dòng)滑輪重力，求：
（1）重物B的質(zhì)量為多少時(shí)，A與斜面間恰好沒(méi)有摩擦力作用？
（2）A與斜面間恰好沒(méi)有摩擦力作用時(shí)，水平地面對(duì)斜面的摩擦力為多大？
（3）重物B的質(zhì)量滿(mǎn)足什么條件時(shí)，物塊A能在斜面上保持靜止？

Answer 1

分析 （1）先對(duì)物體A受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列式求解細(xì)線(xiàn)的拉力；再物體B和動(dòng)滑輪整體分析，根據(jù)平衡條件列式求解重物B的質(zhì)量；
（2）A與斜面間恰好沒(méi)有摩擦力作用時(shí)，先對(duì)物體A分析，根據(jù)平衡條件求解細(xì)線(xiàn)的拉力；再對(duì)A和斜面體整體分析，根據(jù)平衡條件求解水平地面對(duì)斜面的摩擦力；
（3）考慮物體A恰好不上滑和恰好不下滑的兩個(gè)臨界情況，對(duì)物體A根據(jù)平衡條件求解細(xì)線(xiàn)的拉力，而由第一問(wèn)分析知，細(xì)線(xiàn)的拉力等于物體B的重力．

解答 解：（1）對(duì)物體A受力分析，受拉力T、重力、支持力，根據(jù)平衡條件，沿斜面方向，有：
T′cos30°=mgsin30°
解得：T′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg
再物體B和動(dòng)滑輪整體分析，受兩個(gè)拉力和重力，根據(jù)平衡條件，有：
m′g=T=$\frac{\sqrt{3}}{3}$mg
故m′=$\frac{\sqrt{3}}{3}$m
（2）再對(duì)物體A和斜面體整體受力分析，受重力、拉力、支持力和靜摩擦力，根據(jù)平衡條件，有：
f=Tsin30°=$\frac{\sqrt{3}}{6}$mg 向左
（3）如果物體A恰好不上滑，則對(duì)A，有：
平行斜面方向：T₁cos30°-mgsin30°-f=0
垂直斜面方向：N+T₁sin30°-mgcos30°=0
解得：T₁=$\frac{mg（1+\sqrt{3}μ）}{\sqrt{3}+μ}$；
如果物體A恰好不下滑，則對(duì)A，有：
平行斜面方向：T₂cos30°-mgsin30°+f=0
垂直斜面方向：N+T₂sin30°-mgcos30°=0
解得：T₂=$\frac{mg（1-\sqrt{3}μ）}{\sqrt{3}-μ}$；
由于繩子的拉力等于物體B的重力，故物體B的質(zhì)量范圍為：
 $\frac{m（1+\sqrt{3}μ）}{\sqrt{3}+μ}$≥m′≥$\frac{m（1-\sqrt{3}μ）}{\sqrt{3}-μ}$．
答：（1）重物B的質(zhì)量為$\frac{\sqrt{3}}{3}$m時(shí)，A與斜面間恰好沒(méi)有摩擦力作用；
（2）A與斜面間恰好沒(méi)有摩擦力作用時(shí)，水平地面對(duì)斜面的摩擦力為$\frac{\sqrt{3}}{6}$mg；
（3）重物B的質(zhì)量滿(mǎn)足條件$\frac{m（1+\sqrt{3}μ）}{\sqrt{3}+μ}$≥m′≥$\frac{m（1-\sqrt{3}μ）}{\sqrt{3}-μ}$時(shí)，物塊A能在斜面上保持靜止．

點(diǎn)評(píng) 本題是多物體的平衡問(wèn)題，關(guān)鍵是靈活選擇研究對(duì)象，根據(jù)平衡條件列式分析，不難．