Question

15．甲、乙兩顆衛(wèi)星繞同一行星做圓周運動，運動方向相同，如圖所示，衛(wèi)星甲的周期為T₁，衛(wèi)星行星乙的周期為T₂．若T₂＞T₁，在某一時刻t₀兩顆衛(wèi)星相遇（兩衛(wèi)星距離最近），問：
（1）至少經(jīng)過多長時間，兩顆衛(wèi)星又相遇？
（2）至少經(jīng)過多長時間，兩衛(wèi)星距離最遠？

Answer 1

分析 兩行星相距最近時，兩行星應該在同一半徑方向上；兩行星相距最遠時，兩行星應該在同一直徑上；由于A的軌道半徑小，所以A的角速度大，即A轉得較快；當A比B多轉一圈時兩行星再次相距最近；當A比B多轉半圈時兩行星相距最遠．

解答 解：（1）由題意知，兩衛(wèi)星周期滿足T₁＜T₂
某時刻兩衛(wèi)星相距最近，則可知經(jīng)過時間t₁兩衛(wèi)星再次相距最近時，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉過2π弧度，即有：$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{1}=2π$
所以可得：${t}_{1}=\frac{2π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$
（2）同理當兩顆衛(wèi)星經(jīng)過時間t₂兩衛(wèi)星相距最遠時，A衛(wèi)星比B衛(wèi)星多轉過π弧度，即有：
$（\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}）{t}_{2}=π$
所以可得：${t}_{2}=\frac{π}{\frac{2π}{{T}_{1}}-\frac{2π}{{T}_{2}}}$=$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$
答：（1）經(jīng)$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{{T}_{2}-{T}_{1}}$兩行星再次相距最近
（2）經(jīng)$\frac{{T}_{1}{T}_{2}}{2（{T}_{2}-{T}_{1}）}$兩行星相距最遠．

點評 根據(jù)幾何關系得到兩顆衛(wèi)星相距最近和相距最遠所滿足的角度關系，最近時兩衛(wèi)星在同一半徑上角度差為2π弧度，衛(wèi)星相距最遠時，兩衛(wèi)星在同一直徑上，轉過的角度差為π弧度，這是解決本題的關鍵．