Question

8．如圖，一半徑為R的圓表示一柱形區(qū)域的橫截面（紙面），O為圓心．在柱形區(qū)域內(nèi)加一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一質(zhì)量為m、電荷量為+q的粒子沿圖中直徑從圓上的A點(diǎn)射入柱形區(qū)域，在圓上的D點(diǎn)離開該區(qū)域，已知圖中θ=120°，現(xiàn)將磁場(chǎng)換為豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，同一粒子以同樣速度沿直徑從A點(diǎn)射入柱形區(qū)域，也在D點(diǎn)離開該區(qū)域．若磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，不計(jì)重力，試求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大��；
（2）經(jīng)磁場(chǎng)從A到D的時(shí)間與經(jīng)電場(chǎng)從A到D的時(shí)間之比．

Answer 1

分析 （1）利用幾何關(guān)系求出粒子的半徑，分別寫在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的水平、豎直的運(yùn)動(dòng)方程、在磁場(chǎng)中的向心力方程，聯(lián)立可求解E；
（2）用圓周運(yùn)動(dòng)的周期公式和平拋的豎直分運(yùn)動(dòng)公式來(lái)分別求解時(shí)間，再作比．

解答 解：（1）粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)．設(shè)圓周的半徑為r，由牛頓第二定律和洛侖茲力公式得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
  
由幾何關(guān)系得：r=$\sqrt{3}R$；
再考慮粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)．設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E，粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)．設(shè)其加速度大小為a，由牛頓第二定律和帶電粒子在電場(chǎng)中的受力公式得：qE=ma
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得 $\frac{\sqrt{3}}{2}R=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由幾何關(guān)系如圖，水平位移為：AC=AO+OC=R+Rcos∠COD=R+Rcos60°=$\frac{3R}{2}$；
水平方向作勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：$\frac{3}{2}$R=vt  
  式中t是粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．聯(lián)立各式得：E=$\frac{8\sqrt{3}}{3}\frac{Rq{B}^{2}}{m}$；
  （2）由以上各式解得在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=$\frac{3m}{4qB}$；$\frac{\sqrt{3}m}{2qB}$
     在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間t′=$\frac{πm}{3qB}$；
   所以$\frac{t′}{t}=\frac{4π}{9}$；
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小為$\frac{16\sqrt{3}}{9}\frac{Rq{B}^{2}}{m}$；
    （2）經(jīng)磁場(chǎng)從A到D的時(shí)間與經(jīng)電場(chǎng)從A到D的時(shí)間之比為$\frac{4π}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中關(guān)鍵是兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)分析，在磁場(chǎng)中關(guān)鍵是“找圓心、畫軌跡、求半徑、算周期”．本題計(jì)算量較大，難度較高．