Question

如圖甲所示，平行金屬板A和B的距離為d，緊貼它們的右端安放著垂直于金屬板的絕緣靶MN，AB板間的中線OP交MN于P點，現(xiàn)在A、B板上加上如圖所示的方形波電壓，電壓的正向值為U₀，反向電壓為

U0

2

，且每隔T/2換向一次，現(xiàn)有質量為m的帶正電q的連續(xù)粒子束從AB的中點O以平行于金屬板的方向射入．設粒子能全部打在靶上而且所有粒子在AB間的飛行時間均為T，不計重力的影響．
（1）要使粒子能全部打在靶MN上，試討論電壓U₀的數(shù)值與m、d、q、T應滿足的關系．
（2）求靶MN上被粒子擊中的范圍．

Answer 1

分析：帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做勻變速運動．當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠點，粒子在豎直方向先向下做勻加速運動，后做勻減速運動．根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，由位移公式分別求出前

T

2

時間內和后

T

2

時間內，粒子在豎直方向的位移，再粒子打在距O′點正下方的最大位移．當粒子在

T

2

，

3T

2

，…（2n+1）

T

2

時刻進入電場時，將打在O′點上方最遠點．粒子在豎直方向先向上做勻加速運動，后做勻減速運動．同理求出粒子打在距O′點正上方的最大位移．
要使粒子能全部打在靶上，粒子在豎直方向距O′點的最大位移小于

d

2

．代入（1）問的結論，求解電壓U₀的數(shù)值應滿足的條件．

解答：解：帶電粒子在水平方向做勻速直線運動，豎直方向在電場力的作用下做勻變速運動．粒子打在靶MN上的范圍，就是粒子在豎直方向所能到達的范圍．
（1）當粒子在0，T，2T，…nT時刻進入電場中時，粒子將打在O′點下方最遠點，在前

T

2

時間內，粒子在豎直向下的位移為：
s1=

1

2

a1(

T

2

)2=

qU0T2

8md

在后

T

2

時間內，粒子在豎直向下的位移為：s2=v?

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
將v=a1?

T

2

=

qU0

2md

，代入上式得：s2=

3qU0T2

16md

．
故粒子打在距O′點正下方的最大位移為s=s1+s2=

5qU0T2

16md

當粒子在

T

2

，

3T

2

，…（2n+1）

T

2

時刻進入電場時，…（2n+1）

T

2

時刻進入電場時，將打在O′點上方最遠點．
在前

T

2

時間內，粒子在豎直向上的位移為：
s1′=

1

2

a1′(

T

2

)2=

qU0T2

16md

在后

T

2

時間內，粒子在豎直向上的位移為：
s2′=v′

T

2

-

1

2

a2(

T

2

)2
其中v′=a1′

T

2

=

qU0T

4md

，a2′=

qU0

md

，代入上式得：s₂′=0，
故粒子打在距O′點正上方的最大位移為：s′=s1′+s2′=

qU0T2

16md

．
所以擊中的范圍在P以下

5qU0

16md

T2到P以上

qU0

16md

T2．
要使粒子能全部打在靶上，須有

5qU0T2

16md

＜

d

2

，解得U₀＜

8md2

5qT2

答：（1）為了保證粒子全部打在MN上U₀＜

8md2

5qT2

（2）擊中的范圍在P以下

5qU0

16md

T2到P以上

qU0

16md

T2

點評：本題是粒子在周期性變化的電場中運動，分析帶電粒子的運動情況是關鍵．結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．