Question

（2014?江蘇二模）如圖所示，已知傾角為θ=45°、高為h的斜面固定在水平地面上．一小球從高為H（h＜H＜h）處自由下落，與斜面做無能量損失的碰撞后水平拋出．小球自由下落的落點(diǎn)距斜面左側(cè)的水平距離x滿足一定條件時(shí)，小球能直接落到水平地面上．

（1）求小球落到地面上的速度大��；

（2）求要使小球做平拋運(yùn)動后能直接落到水平地面上，x應(yīng)滿足的條件；

（3）在滿足（2）的條件下，求小球運(yùn)動的最長時(shí)間．

 

Answer 1

（1）小球落到地面上的速度大小為；（2）要使小球做平拋運(yùn)動后能直接落到水平地面上，x應(yīng)滿足的條件為；（3）在滿足（2）的條件下，小球運(yùn)動的最長時(shí)間為2．

【解析】

試題分析：（1）由于小球與斜面碰撞無能量損失，自由下落和平拋運(yùn)動機(jī)械能也守恒，所以小球整個運(yùn)動過程中機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求解小球落到地面上的速度大��；

（2）小球與斜面碰撞后做平拋運(yùn)動，當(dāng)正好落在斜面底端時(shí)，x最小，根據(jù)平拋運(yùn)動的基本公式結(jié)合幾何關(guān)系、動能定理求出x的最小值，而x的最大值即為h，從而求出x的范圍；

（3）根據(jù)豎直方向做自由落體運(yùn)動，由運(yùn)動學(xué)公式列出總時(shí)間的表達(dá)式，再由數(shù)學(xué)知識求解最長的時(shí)間．

【解析】
（1）設(shè)小球落到底面的速度為v，根據(jù)機(jī)械能守恒得：，得：。

（2）小球做自由落體的末速度為：，小球做平拋運(yùn)動的時(shí)間為：，，由s＞h﹣x，解得：

（3），，

當(dāng)H﹣h+x=h﹣x，即x=h﹣時(shí)，小球運(yùn)動時(shí)間最長，x=h﹣，符合（2）的條件，代入得：。

答：（1）小球落到地面上的速度大小為；（2）要使小球做平拋運(yùn)動后能直接落到水平地面上，x應(yīng)滿足的條件為；（3）在滿足（2）的條件下，小球運(yùn)動的最長時(shí)間為2．