Question

15．如圖所示，豎直平面內(nèi)有一光滑半圓形軌道，直徑AB水平，小球a靜止在半圓形軌道的最低點(diǎn)，將另一小球b在半圓形軌道的B點(diǎn)由靜止釋放，當(dāng)b球運(yùn)動(dòng)到半圓形軌道的最低點(diǎn)時(shí)與a球發(fā)生碰撞，兩球碰后粘在一起沿半圓形軌道向左運(yùn)動(dòng)，此后兩球與圓心O的連線偏離豎直方向的最大偏角為60°，忽略空氣阻力．兩小球可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
①a、b兩小球的質(zhì)量之比；
②a、b兩小球在碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能與球b在碰前的最大動(dòng)能之比．

Answer 1

分析 ①ab兩球一起向左運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求出碰撞后的共同速度，b球從最高點(diǎn)下滑到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理求出碰撞前b的速度，ab碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以b球速度方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律列式求解即可；
②根據(jù)能量守恒定律求出碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)損失的機(jī)械能，從而求解a、b兩小球在碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能與球b在碰前的最大動(dòng)能之比．

解答 解：①ab兩球一起向左運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}（{m}_{a}+{m}_）{v}^{2}$=（m_a+m_b）gR（1-cos60°），
解得：v=$\sqrt{gR}$
b球從最高點(diǎn)下滑到最低點(diǎn)的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}{m}_{{v}_{1}}^{2}={m}_gR$
解得：${v}_{1}=\sqrt{2gR}$，
ab碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，以b球速度方向?yàn)檎�方向，根�?jù)動(dòng)量守恒定律得：
m_bv₁=（m_a+m_b）v
聯(lián)立解得：$\frac{{m}_{a}}{{m}_}$=$\sqrt{2}-1$
②a、b兩小球在碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能$△E=\frac{1}{2}{m}_{{v}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}（{m}_{a}+{m}_）{v}^{2}$，
球b在碰前的最大動(dòng)能${E}_{K}=\frac{1}{2}{m}_{{v}_{1}}^{2}$，
解得：$\frac{△E}{{E}_{K}}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$
答：①a、b兩小球的質(zhì)量之比為$\sqrt{2}-1$；
②a、b兩小球在碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能與球b在碰前的最大動(dòng)能之比為$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)能定理、動(dòng)量守恒定律以及能量守恒定律的直接應(yīng)用，要求同學(xué)們能正確分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，注意運(yùn)用動(dòng)量守恒定律解題時(shí)要規(guī)定正方向，難度適中．