Question

14．如圖甲所示，在勁度系數(shù)為k的輕彈簧下掛一個(gè)質(zhì)量為m的物體，將物體從彈簧原長(zhǎng)處無(wú)初速釋放；圖乙所示的物體和彈簧與圖甲中完全相同，用手托著物體從彈簧原長(zhǎng)處緩緩下落，直至手離開(kāi)物體后，物體處于靜止．（不考慮空氣阻力）
（1）簡(jiǎn)要說(shuō)明圖甲中的物體被釋放后做什么運(yùn)動(dòng)；
（2）做出圖乙中手對(duì)物體的支持力F隨物體下降位移x變化的示意圖，借助F-x圖象求支持力F做的功的大小；
（3）利用彈力做功只和始末位置有關(guān)的特點(diǎn)，求圖甲中物體運(yùn)動(dòng)的最大速度．

Answer 1

分析 （1）物體被釋放后做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
（2）物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，受到重力、手的支持力和彈簧的彈力，物體緩慢下降時(shí)，受力平衡，根據(jù)平衡條件和胡克定律求出F與x的關(guān)系式，再作出F-x圖象，根據(jù)圖象與坐標(biāo)軸所圍的面積求拉力做的功．
（3）當(dāng)彈簧的彈力與重力平衡時(shí)，物體的速度最大，由此可得到彈簧的伸長(zhǎng)量，再由動(dòng)能定理求解最大速度．

解答 解：（1）圖甲所示物體被釋放后做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
（2）圖乙中物體受重力mg、彈簧彈力f和支持力F，因?yàn)榫従徬侣鋾r(shí)，物體受力平衡
所以對(duì)任意位置滿(mǎn)足  F=mg-kx ①
當(dāng)下降位移x=0時(shí)，支持力F=mg；
當(dāng)mg=kx，即下降位移$x=\frac{mg}{k}$時(shí)，支持力 F=0．
F-x圖象如答圖所示，圖線(xiàn)下所圍的面積等于支持力F做的功：$W=\frac{1}{2}mg\frac{mg}{k}=\frac{1}{2}\frac{{{m^2}{g^2}}}{k}$ ②
（3）圖甲所示物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受到重力和彈簧彈力，
在受力滿(mǎn)足mg=kx，即下降位移$x=\frac{mg}{k}$時(shí)，有最大速度v
對(duì)物體從釋放到有最大速度的過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，有$mgx-{W_彈}=\frac{1}{2}m{v^2}$ ③
因?yàn)閳D甲與圖乙所示彈簧完全相同且彈簧彈力做的功只與始末位置有關(guān)，因此上式中的W_彈與圖乙所示過(guò)程中彈簧彈力做的功相等．
對(duì)圖乙所示過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理mgx-W_彈-W=0 ④
得到 W_彈=$\frac{1}{2}\frac{{{m^2}{g^2}}}{k}$
代入③式，解得：圖甲中物體運(yùn)動(dòng)的最大速度：$v=g\sqrt{\frac{m}{k}}$．
答：
（1）圖甲中的物體被釋放后做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)；
（2）支持力F做的功的大小為$\frac{{m}^{2}{g}^{2}}{2k}$；
（3）圖甲中物體運(yùn)動(dòng)的最大速度為g$\sqrt{\frac{m}{k}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的模型，關(guān)鍵要理解平衡位置的受力特點(diǎn)，知道拉力是支持力時(shí)，作出F-x圖象，圖象的面積表示功．