Question

5．距離地面H處有一鋼珠自由下落，下方為泥潭，小鋼珠能落入泥潭深h處，求：
（1）落入泥潭前鋼珠的速度最大為多少？
（2）泥潭阻力對鋼珠所做的功為多少？
（3）求泥潭多鋼珠的平均阻力$\overline{f}$；
（4）若泥潭對鋼珠的平均阻力不變，鋼珠以初速度v₀豎直下拋，則可陷入泥潭的深度h₁為多少？

Answer 1

分析 對鋼珠的運動分成空中，泥潭中和整個過程應用動能定理可以求出小球的速度、做功、阻力及下沉的深度

解答 解：（1）鋼珠從靜止到落入泥潭前作為研究過程，由動能定理可得：
mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，解得：${v}_{1}=\sqrt{2gH}$
（2）鋼珠從靜止到停止作為研究過程，由動能定理可得：
mg（H+h）-W_f=0-0
解得：W_f=mg（H+h）
（3）由（2）中可知，W_f=mg（H+h）=$\overline{f}$h，解得：$\overline{f}$=$\frac{mg（H+h）}{h}$
（4）鋼珠從初速度v₀豎直下拋，到停止作為研究過程，由動能定理可得：
mg（H+h₁）-$\overline{f}$h₁=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$，
解得：h₁=$\frac{mgH+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}}{\overline{f}-mg}=\frac{mgH+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}}{\frac{mg（H+h）}{h}-mg}$=$h+\frac{{v}_{0}^{2}h}{2gh}$，
答：（1）落入泥潭前鋼珠的速度最大為$\sqrt{2gH}$
（2）泥潭阻力對鋼珠所做的功為mg（H+h）
（3）求泥潭多鋼珠的平均阻力$\overline{f}$為$\frac{mg（H+h）}{h}$；
（4）若泥潭對鋼珠的平均阻力不變，鋼珠以初速度v₀豎直下拋，則可陷入泥潭的深度h₁為$h+\frac{{v}_{0}^{2}h}{2gh}$．

點評 對于動能定理來說，除確定各力做功情況及初末動能外，還要注意過程的選�。�當取合理的過程時，解題會簡便．例如：此處從靜止到停止過程，解題非常方便．