Question

20．如圖所示存在范圍足夠大的磁場區(qū)，虛線OO′為磁場邊界，左側為豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B₁，右側為豎直向上的磁感應強度為B2的勻強磁場區(qū)，B₁=B₂=B．有一質(zhì)量為m且足夠長的U形金屬框架MNPQ平放在光滑的水平面上，框架跨過兩磁場區(qū)，磁場邊界OO′與框架的兩平行導軌MN、PQ垂直，兩導軌相距L，一質(zhì)量也為m的金屬棒垂直放置在右側磁場區(qū)光滑的水平導軌上，并用一不可伸長的繩子拉住，繩子能承受的最大拉力是F₀，超過F₀繩子會自動斷裂，已知棒的電阻是R，導軌電阻不計，t=0時刻對U形金屬框架施加水平向左的拉力F讓其從靜止開始做加速度為a的勻加速直線運動．
（1）求在繩未斷前U形金屬框架做勻加速運動t時刻水平拉力F的大小；繩子斷開后瞬間棒的加速度．
（2）若在繩子斷開的時刻立即撤去拉力F，框架和導體棒將怎樣運動，求出它們的最終狀態(tài)的速度．
（3）在（2）的情景下，求出撤去拉力F后棒上產(chǎn)生的電熱和通過導體棒的電量．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應定律和牛頓第二定律求解．
（2）以后框架減速，棒向右加速，當兩者速度大小相等時回路磁通量不再變化，一起勻速運動．由于框架和棒都是受安培力作用，且質(zhì)量相等，所以任意時刻加速度大小相等．
（3）去拉力F后系統(tǒng)動能減少等于回路消耗電能，根據(jù)能量守恒定律求解．

解答 解：（1）t時刻，對框架有　
速度   v=at
感應電動勢 E=BLv=BLat
安培力　F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$
根據(jù)牛頓第二定律得
  F-F_安=ma
得 F=F_安+ma=ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$
繩子斷開時刻繩子拉力　F₀=F_安
棒的加速度  a=$\frac{{F}_{安}}{m}$=$\frac{{F}_{0}}{m}$
（2）繩子斷裂時刻F₀=F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$
框架速度 v₀=at=$\frac{{F}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
以后框架減速，棒向右加速，當兩者速度大小相等時回路磁通量不再變化，一起勻速運動．由于框架和棒都是受安培力作用，且質(zhì)量相等，所以任意時刻加速度大小相等，相等時間內(nèi)速度變化的大小也相等，最終速度都是v．
  v₀-v=v-0，得 v=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\frac{{F}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
框架向左勻速，棒向右勻速．
（3）撤去拉力F后系統(tǒng)動能減少等于回路消耗電能，即棒上產(chǎn)生電熱
  Q=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-2×\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{m{F}_{0}^{2}{R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$
對棒　F_安=BIL=ma
　a=$\frac{BIL}{m}$
△t時間內(nèi)速度變化△v=a△t=$\frac{BIL}{m}$△t=$\frac{BL}{m}$△q
速度由零增加到v過程
  v=$\sum_{\;}^{\;}$△v=$\sum_{\;}^{\;}$$\frac{BL}{m}$△q=$\frac{BL}{m}$q=$\frac{{v}_{0}}{2}$=$\frac{{F}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$
解得  q=$\frac{m{F}_{0}R}{2{B}^{3}{L}^{3}}$
答：
（1）在繩未斷前U形金屬框架做勻加速運動t時刻水平拉力F的大小是ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R}$；繩子斷開后瞬間棒的加速度是$\frac{{F}_{0}}{m}$．
（2）若在繩子斷開的時刻立即撤去拉力F，框架和導體棒將怎樣運動，它們的最終狀態(tài)的速度都是$\frac{{F}_{0}R}{2{B}^{2}{L}^{2}}$，框架向左勻速，棒向右勻速．
（3）在（2）的情景下，撤去拉力F后棒上產(chǎn)生的電熱是$\frac{m{F}_{0}^{2}{R}^{2}}{4{B}^{4}{L}^{4}}$，通過導體棒的電量是$\frac{m{F}_{0}R}{2{B}^{3}{L}^{3}}$．

點評 本題考查了法拉第電磁感應定律、牛頓第二定律、能量守恒定律等多個知識點，要注意的是該題中框架NP和金屬棒所在的磁場方向相反，從而所受安培力方向相同．