Question

如圖所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B 的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中 a、b 兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距 l。帶電量 q>0，質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn) P，以初速度 v 從 a 對(duì)準(zhǔn) b 射出。略去空氣阻力，不考慮 P 與地面接觸的可能性，設(shè)定 q、m 和 B 均為不可改取的給定量。 

 (1)若無論 l 取什么值，均可使 P 經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過 b 點(diǎn)，試問 v 應(yīng)取什么值? 

(2)若 v 為(1)問可取值之外的任意值，則 l 取哪些值，可使 P 必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過 b 點(diǎn)? 

(3)對(duì)每一個(gè)滿足(2)問要求的 l 值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的 P 從 a 到 b 所經(jīng)過的時(shí)間。

(4)對(duì)每一個(gè)滿足(2)問要求的 l 值，試問 P 能否從 a 靜止釋放后也可以通過 b 點(diǎn)?若能，再求P 在而后運(yùn)動(dòng)過程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率 vmax。 

Answer 1

解析：（1）要使 P 經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過 b 點(diǎn)，必有：mg=qvB，

解得：v=mg/qB。①

(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度為v+△v，質(zhì)點(diǎn)所受洛倫茲力為q(v+△v)B，與重力合力為mg+ q(v+△v)B= q△vB，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為沿ab連線方向做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速度為△v的圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，要使質(zhì)點(diǎn)通過b點(diǎn)，t=nT，②

T=，③

l =vt，④

聯(lián)立①②③④解得：l =。（n=1,2,3,4···）⑤⑤

（3）由②③解得：t=（n=1,2,3,4···），

(4) 質(zhì)點(diǎn)P從 a 靜止釋放后的運(yùn)動(dòng)可視為沿水平方向速度v= mg/qB的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿反方向的線速度v= mg/qB的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一個(gè)周期質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)距離L=vT= mg/qB·=。

所以P從 a 靜止釋放后可以通過 b 點(diǎn)。

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)速率最大，最大運(yùn)動(dòng)速率 vmax=2v=2mg/qB，

【點(diǎn)評(píng)】此題采用遞進(jìn)式命題方式，從易到難。此題以帶電質(zhì)點(diǎn)在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)切入，意在考查速度分解、帶電質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)知識(shí)。