Question

18．已知引力常量G和下列各組數(shù)據(jù)，能計(jì)算出地球質(zhì)量的是（　　）

• A． 地球繞太陽運(yùn)行的周期及地球離太陽的距離
• B． 人造地球衛(wèi)星在地面附近運(yùn)行的周期和軌道半徑
• C． 若不考慮地球自轉(zhuǎn)，已知地球的半徑及地球表面的重力加速度
• D． 月球繞地球運(yùn)行的周期及月球的半徑

Answer 1

分析 地球、月球、人造衛(wèi)星等做勻速圓周運(yùn)動，它們受到的萬有引力充當(dāng)向心力，用它們的運(yùn)動周期表示向心力，由萬有引力定律結(jié)合牛頓第二定律列式求中心天體的質(zhì)量，然后由選項(xiàng)條件判斷正確的答案．

解答 解：A、地球繞太陽運(yùn)動的周期和地球與太陽的距離，根據(jù)萬有引力提供向心力：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，其中m為地球質(zhì)量，在等式中消去，只能求出太陽的質(zhì)量M．也就是說只能求出中心體的質(zhì)量．故A錯誤．
B、人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動，它受到地球的萬有引力充當(dāng)向心力，用它運(yùn)動周期表示向心力，
由萬有引力定律結(jié)合牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，又因T=$\frac{2π}{ω}$，所以地球的質(zhì)量M=$\frac{T{v}^{3}}{2πG}$，因此，可求出地球的質(zhì)量，故B正確．
C、地球表面的物體受到的地球的重力等于萬有引力，即mg=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$，因此，可求出地球的質(zhì)量M=$\frac{{r}^{2}g}{G}$，故C正確．
D、月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動，它受到地球的萬有引力充當(dāng)向心力，用它運(yùn)動周期表示向心力，由萬有引力定律結(jié)合牛頓第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，所以地球的質(zhì)量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，其中r為地球與月球間的距離，而不是月球的半徑，故D錯誤．
故選：BC．

點(diǎn)評 解答萬有引力定律在天體運(yùn)動中的應(yīng)用時要明確天體做勻速圓周運(yùn)動，其受到的萬有引力提供向心力，會用線速度、角速度、周期表示向心力，同時注意公式間的化簡．