Question

如圖所示，光滑均勻球重為G，半徑為R，輕板OA長為L，一端用鉸鏈與豎直墻相連于O點(diǎn)，板可繞軸在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，板重可不計(jì)，板的A端用一水平細(xì)繩AB與墻相連，此時(shí)板與豎直墻間的夾角為θ，接觸處的摩擦均可不計(jì)，如果這一系統(tǒng)保持平衡．試問：
（1）豎直墻和輕板對球的彈力分別多大？
（2）細(xì)繩對板的拉力F多大？
（3）當(dāng)θ取何值時(shí)，力F有最小值，此最小值多大？

Answer 1

分析：（1）對球受力分析，受重力、擋板支持力N₁和墻壁的支持力N₂，根據(jù)平衡條件列式求解；
（2）以O(shè)為支點(diǎn)，對桿有運(yùn)用力矩平衡條件列式求解；
（3）對拉力F的表達(dá)式進(jìn)行分析，得到拉力的最小值和對應(yīng)的角度．

解答：解：（1）對球受力分析，受重力、擋板支持力N₁和墻壁的支持力N₂，如圖所示：

根據(jù)平衡條件，有：
N₁=

G

sinθ

            ①
N₂=Gcotθ           ②
（2）以O(shè)為支點(diǎn)，桿受球的壓力和細(xì)線的拉力，根據(jù)力矩平衡條件，有：
F?Lcosθ=N₁?R?cot

θ

2

    ③
由①③聯(lián)立解得：F=

GR

Lcosθ(1-cosθ)

     ④
（3）由④式，當(dāng)cosθ=1-cosθ，即θ=60°時(shí)，拉力F有最小值，為

4GR

L

；
答：（1）豎直墻對球的彈力為Gcotθ，輕板對球彈力為

G

sinθ

；
（2）細(xì)繩對板的拉力F為

GR

Lcosθ(1-cosθ)

；
（3）當(dāng)θ取60°時(shí)，力F有最小值，此最小值為

4GR

L

．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件和力矩平衡條件列式求解，對應(yīng)極值問題，關(guān)鍵是要根據(jù)數(shù)學(xué)中的表達(dá)式知識求解．