Question

11．在1687年出版的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，牛頓設(shè)想，拋出速度很大時(shí)，物體就不會(huì)落回地面，已知地球半徑為R，自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星得軌道半徑為nR，不計(jì)空氣阻力，為實(shí)現(xiàn)牛頓設(shè)想，拋出得速度至少為$\frac{2πnR}{T}\sqrt{n}$．

Answer 1

分析 要使物體沿水平方向拋出而不落回星球表面，需要達(dá)到第一宇宙速度，恰好由重力提供向心力，可以求得第一宇宙速度．

解答 解：根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，即$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，其中r=nR
在地球表面附近，萬(wàn)有引力等于重力得：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\frac{2πnR}{T}\sqrt{n}$
故答案為：$\frac{2πnR}{T}\sqrt{n}$

點(diǎn)評(píng) 本題是常見的豎直上拋運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力的綜合應(yīng)用問題，它們之間聯(lián)系的橋梁是重力加速度是g．