Question

12．如圖，質(zhì)量為M、長為L、高為h的矩形木塊A置于水平地面上，木塊與地面間動摩擦因數(shù)為μ；木塊上表面光滑，其左端放置一個質(zhì)量為m的小球B，m=M．某時刻木塊和小球同時獲得向右的速度v₀后開始運動，不計空氣阻力，經(jīng)過一段時間后小球落地．求小球落地時距木塊右端的水平距離．

Answer 1

分析 若木塊在小球滑落前已停止運動，小球離開木塊后做平拋運動，結合平拋運動的規(guī)律求出小球落地時距離木塊左端的水平距離．
木塊在小球滑落時還在運動，分為兩種情況，小球落地時木塊已經(jīng)停止運動；小球落地時木塊還未停止運動，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．

解答 解：小球未掉落時木塊的加速度大小為a₁，根據(jù)牛頓第二定律得：${a}_{1}=\frac{μ（mg+Mg）}{M}=2μg$．
（1）如木塊在小球滑落前已停止運動，設木塊運動的總時間為t₀，有：
${t}_{0}=\frac{{v}_{0}}{2μg}$，
此時$L≤\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$，
小球離開木塊后做平拋運動的時間${t}_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
小球落地時距木塊的左端的水平距離x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}$．
則距離右端的水平距離為x′=x+L=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}+L$．
（2）當L$＞\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$時，木塊在小球滑落時還在運動，此時木塊運動的時間為t，速度為v，
${v}_{0}t-（{v}_{0}t-\frac{1}{2}×2μg{t}^{2}）=L$，
解得：t=$\sqrt{\frac{L}{μg}}$．
v=${v}_{0}-2μgt={v}_{0}-2\sqrt{μgL}$．
小球掉落后木塊繼續(xù)運動時的加速度大小為a₂，有：
${a}_{2}=\frac{μMg}{M}=μg$，
設木塊繼續(xù)運動的時間為t₂，
${t}_{2}=\frac{v}{{a}_{2}}=\frac{{v}_{0}-2\sqrt{μgL}}{μg}$，
討論：①如小球落地時木塊已經(jīng)停止運動．即：
$\frac{{v}_{0}-2\sqrt{μgL}}{μg}＜\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
小球落地時距木塊右端的水平距離為：x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）^{2}}{2μg}$．
討論：②如小球落地時木塊還未停止運動，小球落地時距木塊右端的水平距離為：
x=${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-[（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{1}{2}μg{\sqrt{\frac{2h}{g}}}^{2}]$=$2\sqrt{2μLh}+μh$．
答：木塊在小球滑落前已停止運動，小球落地時距木塊的右端的水平距離為${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}+L$．；
木塊在小球滑落時還在運動，如小球落地時木塊已經(jīng)停止運動，則小球落地時距木塊右端的水平距離為${v}_{0}\sqrt{\frac{2h}{g}}-\frac{（{v}_{0}-2\sqrt{μgL}）^{2}}{2μg}$．
如小球落地時木塊還未停止運動，小球落地時距木塊右端的水平距離為$2\sqrt{2μLh}+μh$．

點評 本題考查了牛頓第二定律和平拋運動的綜合運用，該題的難點在于需要分情況討論：（1）木塊在小球滑落前已停止運動；（2）木塊在小球滑落時還在運動．